Sistemas de ecuaciones

Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2a \\ a & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -a \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & -2a & a \\ a & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -a & -1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera columna (el tercer elemento es $0$):$$|A| = 4\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -a \end{vmatrix} - a\begin{vmatrix} 1 & -2a \\ 1 & -a \end{vmatrix} = 4(a - 1) - a(-a + 2a) = 4a - 4 - a^2$$$$|A| = -(a^2 - 4a + 4) = -(a - 2)^2$$$$|A| = 0 \iff a = 2$$Caso $a \neq 2$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 2$. El sistema queda$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \end{array}\right)$$Como $|A| = 0$ y el menor de las dos primeras filas y columnas es$$\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -4 - 2 = -6 \neq 0,$$tenemos $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 4\bigl((-1)(-1) - 0\bigr) - 1\bigl(2\cdot(-1) - 0\bigr) + 2\bigl(2\cdot 1 - 0\bigr) = 4 + 2 + 4 = 10 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible (no tiene solución).

Se ve también a mano: de la tercera ecuación, $y = 2z - 1$; sustituyendo en la segunda, $2x - (2z - 1) + z = 0$, o sea $2x = z - 1$; y la primera queda $2(z - 1) + (2z - 1) - 4z = -3$, que debería valer $2$. Contradicción.