Matrices

a) Restamos $\lambda$ en la diagonal:$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix}$$Su determinante:$$|A - \lambda I| = -\lambda(1 - \lambda) - 2\cdot 1 = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1)$$$$|A - \lambda I| = 0 \iff \lambda = 2 \ \text{o}\ \lambda = -1$$Caso $\lambda \neq 2$ y $\lambda \neq -1$. El determinante no es nulo: $\operatorname{rg}(A - \lambda I) = 2$.

Caso $\lambda = 2$ o $\lambda = -1$. El determinante es $0$, así que el rango es menor que 2. Pero la matriz no es nula: el elemento de la posición $(1,2)$ vale $2$ (y el de la $(2,1)$ vale $1$) para cualquier $\lambda$. Hay un menor de orden 1 distinto de cero, luego $\operatorname{rg}(A - \lambda I) = 1$. En concreto:$$A - 2I = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A + I = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$y en las dos se ve que las filas son proporcionales.

Observa que el rango nunca puede ser 0, porque los elementos de fuera de la diagonal no dependen de $\lambda$.

b) Con $\lambda = 2$:$$AX = 2X \iff AX - 2IX = 0 \iff (A - 2I)X = 0 \iff \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$$$\left\{\begin{array}{l} -2x + 2y = 0 \\ x - y = 0 \end{array}\right.$$Es un sistema homogéneo (siempre compatible) con $\operatorname{rg}(A - 2I) = 1 < 2$ incógnitas: compatible indeterminado, con $2 - 1 = 1$ parámetro. Las dos ecuaciones dicen lo mismo, $y = x$. Llamando $x = t$:$$X = \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. $AX = \begin{pmatrix} 0\cdot t + 2t \\ t + t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t \\ 2t \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = 2X$ ✓.