Matemáticas IIFácil2 pts

Distribución normal

Castilla y León · 2022 · Junio
Enunciado
El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 15001500 horas y una desviación típica de 200200 horas.

a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de impresoras fallarán antes de 10001000 horas de funcionamiento?

b) (1 punto) Si compramos 500500 impresoras ¿Cuántas de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 10001000 y 20002000 horas de uso?

(Se adjunta la tabla de la normal.)
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) P(X<1000)=0,0062  ⇒  0,62 %\boxed{\text{a) } P(X < 1000) = 0{,}0062 \;\Rightarrow\; 0{,}62\,\%}b) P(1000≤X≤2000)=0,9876;500⋅0,9876≈494 impresoras\boxed{\text{b) } P(1000 \le X \le 2000) = 0{,}9876;\quad 500 \cdot 0{,}9876 \approx 494 \text{ impresoras}}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

Llamamos XX al tiempo hasta la primera avería: X∼N(1500; 200)X \sim N(1500;\ 200). Para usar la tabla de la N(0,1)N(0, 1) tipificamos con Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}; la tabla solo da P(Z≤z)P(Z \le z) con z≥0z \ge 0, así que los valores negativos se resuelven con la simetría de la normal.

En b) calculamos primero la probabilidad de que una impresora caiga en el intervalo y la multiplicamos por 500500 para obtener el número esperado de impresoras.
2

Desarrollo

Sea XX = «tiempo, en horas, hasta la primera avería de una impresora», con X∼N(μ=1500; σ=200)X \sim N(\mu = 1500;\ \sigma = 200), y Z=X−1500200∼N(0,1)Z = \frac{X - 1500}{200} \sim N(0, 1).

a) Tipificamos:P(X<1000)=P(Z<1000−1500200)=P(Z<−2,5)P(X < 1000) = P\left(Z < \frac{1000 - 1500}{200}\right) = P(Z < -2{,}5)Por la simetría de la normal y la tabla, P(Z≤2,50)=0,9938P(Z \le 2{,}50) = 0{,}9938:P(Z<−2,5)=P(Z>2,5)=1−P(Z≤2,5)=1−0,9938=0,0062P(Z < -2{,}5) = P(Z > 2{,}5) = 1 - P(Z \le 2{,}5) = 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062Fallarán antes de 1000 horas el 0,62 %0{,}62\,\% de las impresoras.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Probabilidad de que una impresora tenga la primera avería entre 1000 y 2000 horas:P(1000≤X≤2000)=P(1000−1500200≤Z≤2000−1500200)=P(−2,5≤Z≤2,5)P(1000 \le X \le 2000) = P\left(\frac{1000 - 1500}{200} \le Z \le \frac{2000 - 1500}{200}\right) = P(-2{,}5 \le Z \le 2{,}5)P(−2,5≤Z≤2,5)=P(Z≤2,5)−P(Z<−2,5)=0,9938−0,0062=0,9876P(-2{,}5 \le Z \le 2{,}5) = P(Z \le 2{,}5) - P(Z < -2{,}5) = 0{,}9938 - 0{,}0062 = 0{,}9876(o bien 2 P(Z≤2,5)−1=2⋅0,9938−1=0,98762\,P(Z \le 2{,}5) - 1 = 2\cdot 0{,}9938 - 1 = 0{,}9876).

De las 500 impresoras, el número esperado con la primera avería en ese intervalo es500⋅0,9876=493,8≈494 impresoras500 \cdot 0{,}9876 = 493{,}8 \approx 494 \text{ impresoras}Comprobación de sentido. El intervalo [1000,2000][1000, 2000] es μ±2,5σ\mu \pm 2{,}5\sigma, que deja fuera muy poco: el 0,62 %0{,}62\,\% por cada lado. Fuera quedan 500⋅0,0124=6,2500 \cdot 0{,}0124 = 6{,}2 impresoras, y 493,8+6,2=500493{,}8 + 6{,}2 = 500 ✓.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

Piden un porcentaje en a) y un número de impresoras en b): no te quedes en la probabilidad. 0,00620{,}0062 son el 0,62 %0{,}62\,\%, y 493,8493{,}8 se redondea a 494494 (es un número esperado, por eso sale con decimales).

La tabla no trae valores negativos: escribe siempre el paso P(Z<−a)=1−P(Z≤a)P(Z < -a) = 1 - P(Z \le a). Y aprovecha que el intervalo de b) es simétrico respecto de la media.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Distribución normal
Ejercicio 4.2 (bloque con optatividad 2). La estatura de los alumnos de un centro de Educación Secundaria sigue…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4Distribución normal
Ejercicio 4.2 (bloque con optatividad 2). Las tallas de las niñas al nacer se distribuyen según una distribución…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 2Distribución normal
En un estudio sobre hábitos de consumo digital, se observa que la edad de las personas suscritas a plataformas…
Matemáticas II · Castilla-La Mancha · 2026 · JulioDistribución normal
El agua almacenada diariamente en el pantano de Riaño durante el año 2025 (365 días), sigue una distribución normal…
Matemáticas II · Castilla y León · 2026 · Julio
Apuntes y todos los problemas de Probabilidad y estadística →