Probabilidad

Sucesos.

• $A$ = «la herramienta es de calidad Alta», $E$ = «es de calidad Estándar», $B$ = «es de calidad Baja».
• $D$ = «la herramienta es defectuosa».

$A$, $E$ y $B$ son incompatibles dos a dos y su unión es todo el espacio muestral: forman un sistema completo de sucesos. Datos:$$P(A) = 0{,}10, \qquad P(E) = 0{,}70, \qquad P(B) = 0{,}20$$$$P(D \mid A) = 0{,}01, \qquad P(D \mid E) = 0{,}10, \qquad P(D \mid B) = 0{,}30$$(El enunciado dice «del total de las herramientas», pero los porcentajes de defectuosas tienen que referirse a las herramientas de cada calidad: un $30\,\%$ del total no podría ser de calidad Baja, que solo es el $20\,\%$. Se entienden, pues, como probabilidades condicionadas.)

Diagrama de árbol:$$\begin{array}{lll} A\ (0{,}10) & \longrightarrow\ D\ (0{,}01) & P(A \cap D) = 0{,}10\cdot 0{,}01 = 0{,}001 \\ & \longrightarrow\ \overline{D}\ (0{,}99) & \\ E\ (0{,}70) & \longrightarrow\ D\ (0{,}10) & P(E \cap D) = 0{,}70\cdot 0{,}10 = 0{,}07 \\ & \longrightarrow\ \overline{D}\ (0{,}90) & \\ B\ (0{,}20) & \longrightarrow\ D\ (0{,}30) & P(B \cap D) = 0{,}20\cdot 0{,}30 = 0{,}06 \\ & \longrightarrow\ \overline{D}\ (0{,}70) & \end{array}$$a) Por el teorema de la probabilidad total:$$P(D) = P(A)\,P(D \mid A) + P(E)\,P(D \mid E) + P(B)\,P(D \mid B)$$$$P(D) = 0{,}001 + 0{,}07 + 0{,}06 = 0{,}131$$Es decir, el $13{,}1\,\%$ de las herramientas son defectuosas.

b) Por el teorema de Bayes:$$P(E \mid D) = \frac{P(E \cap D)}{P(D)} = \frac{P(E)\,P(D \mid E)}{P(D)} = \frac{0{,}07}{0{,}131} = \frac{70}{131} \approx 0{,}5344$$Comprobación. Las tres probabilidades «a posteriori» deben sumar 1: $P(A \mid D) = \frac{1}{131}$, $P(E \mid D) = \frac{70}{131}$ y $P(B \mid D) = \frac{60}{131}$, y $\frac{1 + 70 + 60}{131} = 1$ ✓.