a) (1 punto) Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de f(x) = x^3 - 4x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2. b) (1 punto) Calcule \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{2 - 2\cos x}

Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

También trata: Límites y continuidad

Castilla y León · 2022 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de

f(x) = x^3 - 4x

, el eje

OX

y las rectas

x = 0

x = 2

.

b) (1 punto) Calcule

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{2 - 2\cos x}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } S = \left|\int_0^2 (x^3 - 4x)\,dx\right| = 4 \text{ u}^2}

\boxed{\text{b) } \lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{2 - 2\cos x} = 1}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), antes de integrar hay que saber el signo de

f

[0, 2]

: si la función queda por debajo del eje, la integral sale negativa y el área es su valor absoluto. Factorizando

f

vemos dónde corta al eje y qué signo tiene en cada tramo.

En b), al sustituir sale

\frac{0}{0}

: aplicamos L'Hôpital (dos veces, porque la indeterminación se repite).

Desarrollo

a) Cortes con el eje y signo.

f(x) = x^3 - 4x = x\,(x^2 - 4) = x\,(x - 2)(x + 2)

Se anula en

x = -2

x = 0

x = 2

, así que en

[0, 2]

no cambia de signo en el interior. En

x = 1

f(1) = 1 - 4 = -3 < 0

. Luego

f(x) \le 0

en todo

[0, 2]

: el recinto queda por debajo del eje

OX

, entre

x = 0

x = 2

.

Integral.

\int_0^2 (x^3 - 4x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_0^2 = \left(\frac{16}{4} - 8\right) - 0 = 4 - 8 = -4

Como el recinto está bajo el eje, el área es el valor absoluto:

S = \left|\int_0^2 (x^3 - 4x)\,dx\right| = |-4| = 4 \text{ u}^2

(Equivalentemente,

S = \int_0^2 (4x - x^3)\,dx = 8 - 4 = 4

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Al sustituir

x = 0

: numerador

0\cdot\operatorname{sen} 0 = 0

, denominador

2 - 2\cos 0 = 0

. Indeterminación

\frac{0}{0}

; aplicamos L'Hôpital (el numerador se deriva como un producto):

\lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{2 - 2\cos x} \;\left[\frac{0}{0}\right] \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x + x\cos x}{2\operatorname{sen} x}

Sigue siendo

\frac{0 + 0}{0} = \frac{0}{0}

; aplicamos L'Hôpital otra vez:

\overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x + \cos x - x\operatorname{sen} x}{2\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - x\operatorname{sen} x}{2\cos x} = \frac{2 - 0}{2} = 1

Comprobación con infinitésimos equivalentes en

x \to 0

\operatorname{sen} x \sim x

1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}

, así que

\frac{x \operatorname{sen} x}{2(1 - \cos x)} \sim \frac{x\cdot x}{2\cdot\frac{x^2}{2}} = 1

que coincide con lo obtenido ✓.

Consejo

Un área nunca es negativa. Si la integral te da $-4$ , no escribas «área $= -4$ »: estudia antes el signo de $f$ en el intervalo y, si el recinto está bajo el eje, toma el valor absoluto. Si $f$ cambiara de signo dentro, habría que partir la integral en el corte.

En b), al derivar $x\operatorname{sen} x$ usa la regla del producto: $\operatorname{sen} x + x\cos x$ . Olvidar un sumando es el fallo más habitual con L'Hôpital.