Integrales

a) Dominios. $y = \sqrt{3x}$ solo existe para $x \ge 0$; $y = \frac{1}{3}x^2$, en todo $\mathbb{R}$.

Puntos de corte. Igualamos (con $x \ge 0$) y elevamos al cuadrado:$$\sqrt{3x} = \frac{x^2}{3} \;\Longrightarrow\; 3x = \frac{x^4}{9} \;\Longrightarrow\; x^4 - 27x = 0 \;\Longrightarrow\; x\,(x^3 - 27) = 0$$$$x = 0 \quad \text{o} \quad x^3 = 27 \iff x = 3$$Las dos son válidas (al elevar al cuadrado no se cuelan soluciones, porque ambos miembros son $\ge 0$): con $x = 0$ las dos curvas valen $0$ y con $x = 3$, $\sqrt{9} = 3$ y $\frac{9}{3} = 3$. Los puntos de corte son $O = (0, 0)$ y $A = (3, 3)$.

Qué curva va por encima. En $x = 1$ (entre los cortes): $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ y $\frac{1}{3} \approx 0{,}33$. Como las dos funciones son continuas y solo se cortan en $0$ y $3$, en todo $(0, 3)$ se cumple $\sqrt{3x} > \frac{1}{3}x^2$.

Dibujo. Algunos valores para trazar las curvas:La rama $y = \sqrt{3x}$ sale del origen con tangente vertical y crece cada vez más despacio; la parábola $y = \frac{1}{3}x^2$ sale del origen tangente al eje $OX$ y crece cada vez más deprisa. El recinto es la región con forma de hoja comprendida entre ambas, de $O = (0, 0)$ a $A = (3, 3)$, con $y = \sqrt{3x}$ como borde superior y $y = \frac{1}{3}x^2$ como borde inferior. (Las dos curvas son simétricas respecto de la recta $y = x$: $y = \sqrt{3x}$ es la inversa de $y = \frac{1}{3}x^2$ para $x \ge 0$.)

b) Como $\sqrt{3x} = \sqrt{3}\,x^{1/2}$,$$S = \int_0^3 \left(\sqrt{3x} - \frac{x^2}{3}\right) dx = \left[\sqrt{3}\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2} - \frac{x^3}{9}\right]_0^3$$En $x = 3$: $x^{3/2} = 3\sqrt{3}$, luego $\sqrt{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3} = 2\cdot 3 = 6$, y $\frac{27}{9} = 3$. En $x = 0$ todo vale $0$:$$S = (6 - 3) - 0 = 3 \text{ u}^2$$Comprobación por la simetría respecto de $y = x$: el área entre $y = x$ y la parábola es $\int_0^3 \left(x - \frac{x^2}{3}\right) dx = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$, y el recinto pedido es el doble: $3$ ✓.