Matemáticas IIFácil2 pts

Límites y continuidad

También trata: Integrales

Castilla y León · 2022 · Junio

Enunciado

Calcule:

a) (1 punto)

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}

b) (1 punto)

\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}}

\boxed{\text{b) } \int_0^1 xe^x\,dx = 1}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), al sustituir sale

\frac{0}{0}

: aplicamos la regla de L'Hôpital (derivar numerador y denominador por separado), tantas veces como haga falta mientras siga la indeterminación.

En b), el integrando es un producto de un polinomio por una exponencial: se integra por partes, derivando el polinomio (

u = x

) e integrando la exponencial. Después, regla de Barrow.

Desarrollo

a) Al sustituir

x = 0

: numerador

e^0 - 0 - 1 = 0

, denominador

0

. Indeterminación

\frac{0}{0}

; numerador y denominador son derivables, así que aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} \;\left[\frac{0}{0}\right] \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \;\left[\frac{0}{0}\right] \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

(En el segundo paso volvía a salir

\frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0}

, por eso se aplica la regla otra vez.)

Comprobación numérica: con

x = 0{,}01

\frac{e^{0{,}01} - 1{,}01}{0{,}0001} \approx \frac{0{,}0000502}{0{,}0001} \approx 0{,}502

✓.

b) Por partes,

\int u\,dv = uv - \int v\,du

, con

u = x \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^x\,dx \;\Rightarrow\; v = e^x

\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C

Comprobación de la primitiva:

\frac{d}{dx}\bigl[(x - 1)e^x\bigr] = e^x + (x - 1)e^x = xe^x

✓.

Por la regla de Barrow:

\int_0^1 xe^x\,dx = \Bigl[(x - 1)e^x\Bigr]_0^1 = (1 - 1)e^1 - (0 - 1)e^0 = 0 + 1 = 1

Consejo

Antes de cada L'Hôpital escribe la indeterminación que justifica usarlo; si derivas sin comprobarlo (o cuando ya no hay indeterminación), el resultado sale mal y el corrector lo nota. Y recuerda: se derivan numerador y denominador por separado, no como un cociente.

En la integral por partes, elige $u = x$ : al derivarla desaparece. Con $u = e^x$ el polinomio crecería de grado y no acabarías nunca.