Derivadas y aplicaciones

Dominio. $x$ y $e^x$ están definidas y son continuas en todo $\mathbb{R}$, luego$$\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}$$Además $f(x) = 0 \iff x = 0$ (porque $e^x \neq 0$): la gráfica corta a los ejes solo en el origen, con $f < 0$ para $x < 0$ y $f > 0$ para $x > 0$.

Asíntotas verticales. No tiene: $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

Asíntotas horizontales y oblicuas.

En $+\infty$:$$\lim_{x \to +\infty} xe^x = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$luego no hay asíntota horizontal ni oblicua por la derecha (rama parabólica).

En $-\infty$ aparece $(-\infty)\cdot 0$. Lo escribimos como cociente y aplicamos L'Hôpital:$$\lim_{x \to -\infty} xe^x = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-x}} \;\left[\frac{-\infty}{+\infty}\right] \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = 0$$luego $y = 0$ es asíntota horizontal en $-\infty$ (y entonces no hay oblicua por ese lado). Como $f(x) < 0$ para $x < 0$, la gráfica se acerca a la asíntota por debajo.

Monotonía y extremos. Por la regla del producto:$$f'(x) = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$$$$f'(x) = 0 \iff x + 1 = 0 \iff x = -1$$Como $e^x > 0$, el signo de $f'$ es el de $x + 1$:$f$ es decreciente en $(-\infty, -1)$ y creciente en $(-1, +\infty)$, y tiene un mínimo relativo en $x = -1$:$$f(-1) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0{,}37 \qquad \Longrightarrow \qquad \text{mínimo en } \left(-1, -\frac{1}{e}\right)$$(Es también el mínimo absoluto.) No hay máximos relativos.

Curvatura y puntos de inflexión.$$f''(x) = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$$$$f''(x) = 0 \iff x = -2$$El signo de $f''$ es el de $x + 2$:$f$ es cóncava en $(-\infty, -2)$ y convexa en $(-2, +\infty)$. Como la curvatura cambia en $x = -2$ (y $f$ es continua allí), hay un punto de inflexión:$$f(-2) = -2e^{-2} = -\frac{2}{e^2} \approx -0{,}27 \qquad \Longrightarrow \qquad \text{inflexión en } \left(-2, -\frac{2}{e^2}\right)$$(Con el convenio contrario, cóncava = $\cup$, se intercambian los nombres; lo importante es indicar el sentido de la curvatura.)

Esbozo de la gráfica. Por la izquierda la curva viene pegada al eje $OX$ por debajo (asíntota $y = 0$), curvada hacia abajo; en $\left(-2, -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2;\ -0{,}27)$ cambia de curvatura, sigue bajando hasta el mínimo $\left(-1, -\frac{1}{e}\right) \approx (-1;\ -0{,}37)$, sube pasando por el origen $(0, 0)$ y a partir de ahí crece muy deprisa hacia $+\infty$ (por ejemplo, $f(1) = e \approx 2{,}72$).