Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Castilla y León · 2022 · Junio
Enunciado
Considere el punto P=(2,2,1)P = (2, 2, 1) y el plano π≡2x+3y−3z+6=0\pi \equiv 2x + 3y - 3z + 6 = 0.

a) (1 punto) Halle la recta que pasa por PP y es perpendicular a π\pi.

b) (1 punto) Calcule la distancia del punto Q=(2,2,−2)Q = (2, 2, -2) al plano π\pi.
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Resultado
a) r≡x−22=y−23=z−1−3\boxed{\text{a) } r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{-3}}b) d(Q,π)=22≈4,69 u\boxed{\text{b) } d(Q, \pi) = \sqrt{22} \approx 4{,}69 \text{ u}}
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Estrategia

En a), una recta perpendicular a un plano tiene como vector director el vector normal del plano; con el punto PP ya está determinada.

En b) aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: el valor absoluto de la ecuación del plano evaluada en el punto, dividido entre el módulo del vector normal.
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Desarrollo

a) El vector normal de π\pi es n⃗=(2,3,−3)\vec{n} = (2, 3, -3). La recta rr perpendicular a π\pi tiene vector director u⃗r=n⃗=(2,3,−3)\vec{u}_r = \vec{n} = (2, 3, -3) y pasa por P=(2,2,1)P = (2, 2, 1):r≡{x=2+2λy=2+3λz=1−3λλ∈Rr \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 2 + 2\lambda \\ y = 2 + 3\lambda \\ z = 1 - 3\lambda \end{array}\right. \quad \lambda \in \mathbb{R}o, en forma continua,r≡x−22=y−23=z−1−3r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{-3}Comprobación: con λ=0\lambda = 0 obtenemos PP ✓, y el director coincide con el normal de π\pi, luego r⊥πr \perp \pi ✓.

b) Para Q=(x0,y0,z0)=(2,2,−2)Q = (x_0, y_0, z_0) = (2, 2, -2) y π≡Ax+By+Cz+D=0\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0:d(Q,π)=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2=∣2⋅2+3⋅2−3⋅(−2)+6∣4+9+9=∣4+6+6+6∣22=2222d(Q, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|2\cdot 2 + 3\cdot 2 - 3\cdot(-2) + 6|}{\sqrt{4 + 9 + 9}} = \frac{|4 + 6 + 6 + 6|}{\sqrt{22}} = \frac{22}{\sqrt{22}}d(Q,π)=22≈4,69 unidadesd(Q, \pi) = \sqrt{22} \approx 4{,}69 \text{ unidades}Comprobación por otro camino: la recta perpendicular a π\pi por QQ es (2+2μ, 2+3μ, −2−3μ)(2 + 2\mu,\ 2 + 3\mu,\ -2 - 3\mu); al sustituir en π\pi queda 22+22μ=022 + 22\mu = 0, así que μ=−1\mu = -1 y el pie de la perpendicular es Q′=(0,−1,1)Q' = (0, -1, 1). Entonces QQ′→=(−2,−3,3)\overrightarrow{QQ'} = (-2, -3, 3) y ∣QQ′→∣=4+9+9=22|\overrightarrow{QQ'}| = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22} ✓.
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Consejo

En la fórmula de la distancia, el término independiente DD va en el numerador: olvidar el +6+6 es el error más típico. Y el valor absoluto no es opcional, porque una distancia nunca es negativa.

Simplifica 2222=22\frac{22}{\sqrt{22}} = \sqrt{22}: dar el resultado sin simplificar no suele penalizar, pero el valor exacto queda más limpio.
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