Rectas y planos

a) De la ecuación continua de $r$ leemos su vector director y un punto:$$\vec{u}_r = (2, 1, 4), \qquad P_r = (1, -2, -1)$$y del plano, su vector normal: $\vec{n}_\pi = (2, 1, m)$.

$r \perp \pi$ si y solo si $\vec{u}_r \parallel \vec{n}_\pi$, es decir, si sus coordenadas son proporcionales:$$\frac{2}{2} = \frac{1}{1} = \frac{4}{m} \;\Longrightarrow\; \frac{4}{m} = 1 \;\Longrightarrow\; m = 4$$Con $m = 4$ es $\vec{n}_\pi = (2, 1, 4) = \vec{u}_r$, así que la recta y el plano son perpendiculares. (Para cualquier otro $m$ las dos primeras coordenadas ya son iguales y la tercera no, luego no son proporcionales.)

b) Vectores normales de los planos dados:$$\vec{n}_\pi = (1, 1, 1), \qquad \vec{n}_{\pi_1} = (1, -1, 1)$$El plano $\sigma$ buscado es perpendicular a ambos, así que su normal $\vec{n}_\sigma$ es perpendicular a $\vec{n}_\pi$ y a $\vec{n}_{\pi_1}$. Lo obtenemos con el producto vectorial:$$\vec{n}_\pi \times \vec{n}_{\pi_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 1)\,\vec{i} - (1 - 1)\,\vec{j} + (-1 - 1)\,\vec{k} = (2, 0, -2)$$Podemos tomar el proporcional $\vec{n}_\sigma = (1, 0, -1)$. El plano es $x - z + D = 0$ y, como pasa por $(1, 2, 3)$:$$1 - 3 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 2 \;\Longrightarrow\; \sigma \equiv x - z + 2 = 0$$Comprobación. $\vec{n}_\sigma\cdot\vec{n}_\pi = 1 + 0 - 1 = 0$ ✓ y $\vec{n}_\sigma\cdot\vec{n}_{\pi_1} = 1 + 0 - 1 = 0$ ✓ (los planos son perpendiculares); y $(1, 2, 3)$ cumple $1 - 3 + 2 = 0$ ✓.