Matrices

Inversa. $|A| = a\cdot 1 - a\cdot 0 = a$, así que $A$ es invertible si y solo si $a \neq 0$. Para $a \neq 0$, la matriz adjunta y la inversa son$$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -a & a \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{|A|}\bigl(\operatorname{Adj}(A)\bigr)^t = \frac{1}{a}\begin{pmatrix} 1 & -a \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$(Se comprueba: $A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} a\cdot\frac{1}{a} & -a + a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$.)

Cuadrado.$$A^2 = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & a^2 + a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$Segundo miembro.$$A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$Igualamos elemento a elemento. Los elementos de la segunda fila ya coinciden ($0 = 0$ y $1 = 1$); quedan dos ecuaciones:$$\left\{\begin{array}{l} a^2 = \dfrac{1}{a} \\ a^2 + a = 2 \end{array}\right.$$De la primera (con $a \neq 0$), $a^3 = 1$, cuya única solución real es $a = 1$ (pues $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$ y $a^2 + a + 1$ no tiene raíces reales: su discriminante es $1 - 4 < 0$).

De la segunda, $a^2 + a - 2 = 0 \iff (a - 1)(a + 2) = 0 \iff a = 1$ o $a = -2$.

El único valor que cumple las dos es $a = 1$ (con $a = -2$ falla la primera: $(-2)^2 = 4 \neq -\frac{1}{2}$).

Comprobación con $a = 1$: $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓.