Matemáticas IIMedio2 pts

Sistemas de ecuaciones

Castilla y León · 2022 · Junio

Enunciado

Dado el sistema

\left\{\begin{array}{rcrcrcl} 2x & + & 2my & - & z & = & 0 \\ x & + & 2y & + & mz & = & 0 \\ x & - & my & + & mz & = & 0 \end{array}\right.

a) (1 punto) Discuta el sistema según los distintos valores de

m

.

b) (1 punto) Resuelva el sistema si

m = -2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) Siempre compatible: } m \neq -2,\, -\tfrac{1}{2}:\ \text{S.C.D. } (0,0,0);\quad m = -2 \text{ o } m = -\tfrac{1}{2}:\ \text{S.C.I.}}

\boxed{\text{b) } (x, y, z) = (10t,\ 3t,\ 8t),\ t \in \mathbb{R}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un sistema homogéneo (todos los términos independientes son

0

): siempre es compatible, porque

x = y = z = 0

es solución, y el rango de la matriz ampliada coincide con el de la de coeficientes. Lo único que hay que decidir con Rouché-Frobenius es si la solución es única o hay infinitas, y eso lo dice el determinante de la matriz de coeficientes: donde no se anula, solo está la solución trivial; donde se anula, el rango baja y aparecen infinitas soluciones.

En b),

m = -2

resultará ser uno de los valores críticos, así que habrá que dar la solución con un parámetro.

Desarrollo

a) Matriz de coeficientes:

A = \begin{pmatrix} 2 & 2m & -1 \\ 1 & 2 & m \\ 1 & -m & m \end{pmatrix}

Como el sistema es homogéneo, la ampliada solo añade una columna de ceros, así que

\operatorname{rg}(A^*) = \operatorname{rg}(A)

para todo

m

: el sistema es siempre compatible.

Calculamos

|A|

por la regla de Sarrus:

|A| = 2\cdot 2\cdot m + 2m\cdot m\cdot 1 + (-1)\cdot 1\cdot(-m) - \bigl[(-1)\cdot 2\cdot 1 + 2\cdot m\cdot(-m) + 2m\cdot 1\cdot m\bigr]

|A| = 4m + 2m^2 + m - \bigl[-2 - 2m^2 + 2m^2\bigr] = 2m^2 + 5m + 2

|A| = 0 \iff 2m^2 + 5m + 2 = 0 \iff m = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4} \iff m = -2 \ \text{o}\ m = -\frac{1}{2}

Es decir,

|A| = (m + 2)(2m + 1)

.

Caso $m \neq -2$ y $m \neq -\frac{1}{2}$ .

|A| \neq 0

, luego

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =

número de incógnitas: sistema compatible determinado. Su única solución es la trivial,

x = y = z = 0

.

Caso $m = -2$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}

Las filas 2 y 3 son iguales y

|A| = 0

, pero el menor

\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 4 = 8 \neq 0

. Luego

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones con un parámetro).

Caso $m = -\frac{1}{2}$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -\frac{1}{2} \\ 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

|A| = 0

y el menor

\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 1 = 5 \neq 0

, así que

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Con

m = -2

el sistema queda

\left\{\begin{array}{l} 2x - 4y - z = 0 \\ x + 2y - 2z = 0 \\ x + 2y - 2z = 0 \end{array}\right.

La tercera ecuación repite la segunda, así que nos quedamos con las dos primeras (las del menor no nulo) y pasamos

z

al segundo miembro como parámetro,

z = \lambda

\left\{\begin{array}{l} 2x - 4y = \lambda \\ x + 2y = 2\lambda \end{array}\right.

Sumando la primera con el doble de la segunda:

4x = 5\lambda

, o sea

x = \frac{5\lambda}{4}

. De la segunda,

2y = 2\lambda - \frac{5\lambda}{4} = \frac{3\lambda}{4}

, así que

y = \frac{3\lambda}{8}

(x, y, z) = \left(\frac{5\lambda}{4},\ \frac{3\lambda}{8},\ \lambda\right), \quad \lambda \in \mathbb{R}

o, llamando

\lambda = 8t

para quitar denominadores,

(x, y, z) = (10t,\ 3t,\ 8t)

con

t \in \mathbb{R}

.

Comprobación con

(10t, 3t, 8t)

: primera,

20t - 12t - 8t = 0

✓; segunda y tercera,

10t + 6t - 16t = 0

✓.

Consejo

En un sistema homogéneo no hay caso incompatible: si dices «S.I.» en algún valor, has calculado mal un rango. Dilo al principio («es homogéneo, luego siempre compatible») y te ahorras orlar con la columna de términos independientes.

En el caso compatible determinado, escribe cuál es la solución: la trivial $(0, 0, 0)$ . Y en b), da la solución con un parámetro y compruébala en las tres ecuaciones.