Distribución normal

Sea $X$ = "agudeza visual (cpg)", $X \sim N(\mu = 2;\ \sigma = 1)$, y $Z = \dfrac{X - 2}{1} \sim N(0, 1)$.

(El enunciado dice «ciclos por segundo», pero en agudeza visual cpg significa ciclos por grado; la unidad no cambia nada del cálculo.)

a) Tipificamos el valor $1{,}1$:$$z = \frac{1{,}1 - 2}{1} = -0{,}9$$$$P(X < 1{,}1) = P(Z < -0{,}9) = P(Z > 0{,}9) = 1 - P(Z \le 0{,}9) = 1 - 0{,}8159 = 0{,}1841$$donde el segundo paso es la simetría de la normal respecto de $0$. Es decir, el $18{,}41\ \%$ de la población tiene problemas visuales graves.

b) Tipificamos los dos extremos:$$z_1 = \frac{2 - 2}{1} = 0, \qquad z_2 = \frac{2{,}9 - 2}{1} = 0{,}9$$$$P(2 \le X \le 2{,}9) = P(0 \le Z \le 0{,}9) = P(Z \le 0{,}9) - P(Z \le 0) = 0{,}8159 - 0{,}5 = 0{,}3159$$Un $31{,}59\ \%$ de la población tiene una agudeza visual entre $2$ y $2{,}9$ cpg.

Comprobación de sentido. El intervalo $[2;\ 2{,}9]$ es el simétrico de $[1{,}1;\ 2]$ respecto de la media, así que $P(1{,}1 < X < 2) = 0{,}3159$ también, y $0{,}1841 + 0{,}3159 = 0{,}5 = P(X < 2)$ ✓.