Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2022 · Julio

Enunciado

Entre los participantes de un torneo internacional de ajedrez:

El $28\ \%$ de ellos son rusos, de los cuales las tres cuartas partes son grandes maestros.
El $24\ \%$ son estadounidenses y entre ellos la mitad son grandes maestros.
El $48\ \%$ son del resto del mundo, de los cuales un tercio son grandes maestros.

Considerando los sucesos:

R

= "ser ruso",

E

= "ser estadounidense",

M

= "no ser ruso ni estadounidense" y

GM

= "ser gran maestro"

a) (0,3 puntos) Indique cuáles son los valores de

P(GM/R)

P(GM/E)

P(GM/M)

.

b) (0,7 puntos) Calcule la probabilidad de que al elegir al azar a uno de los participantes en el torneo, sea un gran maestro.

c) (1 punto) Si se elige al azar a uno de los grandes maestros del torneo, ¿cuál es la probabilidad de que sea ruso?

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Resultado

\boxed{\text{a) } P(GM/R) = \tfrac{3}{4},\ P(GM/E) = \tfrac{1}{2},\ P(GM/M) = \tfrac{1}{3}}

\boxed{\text{b) } P(GM) = 0{,}49}

\boxed{\text{c) } P(R/GM) = \tfrac{3}{7} \approx 0{,}4286}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

R

E

M

forman un sistema completo de sucesos (son incompatibles y sus probabilidades suman

0{,}28 + 0{,}24 + 0{,}48 = 1

). Las fracciones de grandes maestros de cada grupo son probabilidades condicionadas. Con un diagrama de árbol, b) es el teorema de la probabilidad total y c), que invierte la condición, el teorema de Bayes.

Desarrollo

Probabilidades de la partición:

P(R) = 0{,}28

P(E) = 0{,}24

P(M) = 0{,}48

.

a) "De los rusos, las tres cuartas partes son grandes maestros" es la probabilidad de ser gran maestro sabiendo que es ruso, y lo mismo en los otros grupos:

P(GM/R) = \frac{3}{4} = 0{,}75, \qquad P(GM/E) = \frac{1}{2} = 0{,}5, \qquad P(GM/M) = \frac{1}{3}

b) Por el teorema de la probabilidad total (sumando las ramas del árbol que acaban en

GM

P(GM) = P(R)\,P(GM/R) + P(E)\,P(GM/E) + P(M)\,P(GM/M)

P(GM) = 0{,}28\cdot\frac{3}{4} + 0{,}24\cdot\frac{1}{2} + 0{,}48\cdot\frac{1}{3} = 0{,}21 + 0{,}12 + 0{,}16 = 0{,}49

c) Por el teorema de Bayes:

P(R/GM) = \frac{P(R)\,P(GM/R)}{P(GM)} = \frac{0{,}21}{0{,}49} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286

Comprobación. Las probabilidades a posteriori deben sumar 1:

P(E/GM) = \frac{0{,}12}{0{,}49} = \frac{12}{49}

P(M/GM) = \frac{0{,}16}{0{,}49} = \frac{16}{49}

, y

\frac{21}{49} + \frac{12}{49} + \frac{16}{49} = 1

✓. Tiene sentido que

P(R/GM) = 0{,}43

sea mayor que

P(R) = 0{,}28

: entre los rusos hay proporcionalmente más grandes maestros.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas $P(GM/R)$ con $P(GM \cap R)$ : «de los rusos, tres cuartos son grandes maestros» es la condicionada $\frac{3}{4}$ ; la intersección es $0{,}28\cdot\frac{3}{4} = 0{,}21$ .

En c) la condición es «ser gran maestro»: el denominador es $P(GM)$ del apartado b), no $P(R)$ .