Integrales

a) Sacamos factor común y resolvemos la ecuación de segundo grado:$$f(x) = x(x^2 - 4x + 3) = x(x - 1)(x - 3)$$Los ceros son $x = 0$, $x = 1$ y $x = 3$; en $[0, 2]$ están $0$ y $1$. Estudiamos el signo de cada factor:Así, $f(x) > 0$ en $(0, 1)$, $f(x) < 0$ en $(1, 2]$ y $f(0) = f(1) = 0$. Por ejemplo, $f(0{,}5) = 0{,}625 > 0$ y $f(1{,}5) = -1{,}125 < 0$.

b) Una primitiva de $f$ es$$F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}$$con $F(0) = 0$, $F(1) = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{3 - 16 + 18}{12} = \frac{5}{12}$ y $F(2) = 4 - \frac{32}{3} + 6 = -\frac{2}{3}$.

Por la regla de Barrow, en cada tramo:$$\int_0^1 f(x)\,dx = F(1) - F(0) = \frac{5}{12} \quad (> 0)$$$$\int_1^2 f(x)\,dx = F(2) - F(1) = -\frac{2}{3} - \frac{5}{12} = -\frac{13}{12} \quad (< 0)$$El área es la suma de los valores absolutos:$$\text{Área} = \frac{5}{12} + \left|-\frac{13}{12}\right| = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \ \text{u}^2$$Comprobación. $F'(x) = x^3 - 4x^2 + 3x = f(x)$ ✓. Si se integrara de $0$ a $2$ de una vez saldría $\frac{5}{12} - \frac{13}{12} = -\frac{2}{3}$, que no es un área: los tramos se compensan.