Límites y continuidad

a) Teorema de Bolzano. Si $f$ es una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos ($f(a)\cdot f(b) < 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

b) $f(x) = x + \operatorname{sen} x - 2$ es suma de un polinomio y de la función seno, ambas continuas en $\mathbb{R}$; por tanto $f$ es continua en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

Valores en los extremos:$$f(0) = 0 + \operatorname{sen} 0 - 2 = -2 < 0$$$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{sen}\frac{\pi}{2} - 2 = \frac{\pi}{2} + 1 - 2 = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}5708 > 0$$(porque $\pi > 2$). Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, luego existe $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ con $f(c) = 0$: la función sí se anula en el intervalo.

Además, es único. $f'(x) = 1 + \cos x > 0$ en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ (allí $\cos x \ge 0$), así que $f$ es estrictamente creciente y solo puede cortar al eje una vez. Numéricamente, $c \approx 1{,}106$.