Integrales

a) Al sustituir $x = 0$: $\ln 1 = 0$ y $e^0 - 1 = 0$, una indeterminación $\frac{0}{0}$. Numerador y denominador son derivables cerca de $0$ y la derivada del denominador, $e^x$, no se anula; por L'Hôpital:$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{1}{1 + x}}{e^x} = \frac{1}{1\cdot 1} = 1$$(También se ve con infinitésimos equivalentes: cerca de $0$, $\ln(1 + x) \sim x$ y $e^x - 1 \sim x$.)

b) Factorizamos:$$f(x) = x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$$Los ceros son $x = -3$, $x = 0$ y $x = 3$; en $[0, 3]$ solo están los extremos del intervalo. Para $0 < x < 3$: $x > 0$, $x - 3 < 0$ y $x + 3 > 0$, así que$$f(x) < 0 \quad \text{en } (0, 3)$$(por ejemplo, $f(1) = 1 - 9 = -8 < 0$). La gráfica está por debajo del eje, y el área es$$\text{Área} = \int_0^3 \bigl(0 - f(x)\bigr)\,dx = -\int_0^3 (x^3 - 9x)\,dx = -\left[\frac{x^4}{4} - \frac{9x^2}{2}\right]_0^3$$$$= -\left(\frac{81}{4} - \frac{81}{2}\right) - 0 = -\left(-\frac{81}{4}\right) = \frac{81}{4} = 20{,}25 \ \text{u}^2$$Comprobación. Derivando la primitiva: $\left(\frac{x^4}{4} - \frac{9x^2}{2}\right)' = x^3 - 9x$ ✓.