Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Castilla y León · 2022 · Julio

Enunciado

Dada la función

f(x) = \dfrac{x^2}{2 - x}

, se pide:

a) (1 punto) Encuentre su dominio y calcule sus asíntotas, si las tiene.

b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si los tiene.

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Resultado

\boxed{\text{a) } \operatorname{Dom} f = \mathbb{R}\setminus\{2\};\ \text{A.V. } x = 2;\ \text{sin A.H.};\ \text{A.O. } y = -x - 2}

\boxed{\text{b) Decrece en } (-\infty, 0)\cup(4, +\infty);\ \text{crece en } (0, 2)\cup(2, 4);\ \text{mín. } (0, 0),\ \text{máx. } (4, -8)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional: su dominio es

\mathbb{R}

salvo donde se anula el denominador, y en ese punto buscamos una asíntota vertical con los límites laterales. Como el grado del numerador supera en uno al del denominador, no hay asíntota horizontal pero sí oblicua

y = mx + n

.

En b) derivamos con la regla del cociente, estudiamos el signo de

f'

en cada intervalo (sin olvidar que

x = 2

no es del dominio) y de ahí salen la monotonía y los extremos.

Desarrollo

a) Dominio.

2 - x = 0 \iff x = 2

, luego

\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}

.

Asíntota vertical. En

x = 2

el numerador vale

4 \neq 0

y el denominador se anula:

\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2}{2 - x} = \frac{4}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2}{2 - x} = \frac{4}{0^-} = -\infty

así que

x = 2

es asíntota vertical.

Asíntota horizontal.

\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{2 - x} = \mp\infty

(el grado del numerador es mayor), luego no hay asíntota horizontal.

Asíntota oblicua

y = mx + n

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{2x - x^2} = -1

n = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) + x\bigr) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2x - x^2}{2 - x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{2 - x} = -2

La recta

y = -x - 2

es asíntota oblicua (en

+\infty

y en

-\infty

). Se confirma con la división:

\dfrac{x^2}{2 - x} = -x - 2 + \dfrac{4}{2 - x}

, y el último término tiende a

0

.

b) Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{2x(2 - x) - x^2\cdot(-1)}{(2 - x)^2} = \frac{4x - 2x^2 + x^2}{(2 - x)^2} = \frac{x(4 - x)}{(2 - x)^2}

f'(x) = 0 \iff x = 0

x = 4

. El denominador es positivo en todo el dominio, así que el signo de

f'

es el de

x(4 - x)

	$(-\infty, 0)$	$(0, 2)$	$(2, 4)$	$(4, +\infty)$
$x$	$-$	$+$	$+$	$+$
$4 - x$	$+$	$+$	$+$	$-$
$f'(x)$	$-$	$+$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	crece	decrece

$f$ es decreciente en $(-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$ y creciente en $(0, 2) \cup (2, 4)$ .
En $x = 0$ , $f'$ pasa de negativa a positiva: mínimo relativo en $(0, f(0)) = (0, 0)$ .
En $x = 4$ , $f'$ pasa de positiva a negativa: máximo relativo en $(4, f(4)) = \left(4, \frac{16}{-2}\right) = (4, -8)$ .

Que el máximo (

-8

) quede por debajo del mínimo (

0

) no es ninguna contradicción: son extremos relativos, y entre ellos está la asíntota vertical

x = 2

, que separa la gráfica en dos ramas.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la tabla de signos de $f'$ hay que poner como fronteras los ceros de $f'$ y los puntos que no son del dominio: si te olvidas de $x = 2$ , unirás $(0, 4)$ en un solo intervalo y no verás la asíntota.

Para la asíntota vertical calcula los dos límites laterales con su signo: así sabes cómo se acerca la gráfica y el corrector lo valora.