Rectas y planos

a) Vectores normales: $\vec n_\alpha = (1, -1, 0)$ y $\vec n_\beta = (2, -3, 1)$. El punto $P$ está en $\alpha$, porque $1 - 1 = 0$ ✓.$$\vec n_\alpha \times \vec n_\beta = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (-1 - 0)\,\vec i - (1 - 0)\,\vec j + (-3 + 2)\,\vec k = (-1, -1, -1)$$Tomamos como vector director $\vec d = (1, 1, 1)$, proporcional al anterior. La recta pasa por $P = (1, 1, 3)$:$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{array}\right. \qquad \text{o, en forma continua,} \qquad x - 1 = y - 1 = z - 3$$En forma implícita, como corte de $\alpha$ con el plano paralelo a $\beta$ que pasa por $P$ ($2 - 3 + 3 = 2$):$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} x - y = 0 \\ 2x - 3y + z = 2 \end{array}\right.$$Comprobación. Contenida en $\alpha$: $(1 + \lambda) - (1 + \lambda) = 0$ para todo $\lambda$ ✓. Paralela a $\beta$: $\vec d \cdot \vec n_\beta = 2 - 3 + 1 = 0$ ✓, y $P$ no está en $\beta$ ($2 - 3 + 3 = 2 \neq 4$), así que la recta es paralela a $\beta$ y no está contenida en él.

b) La recta $r$ en forma continua es $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$: pasa por $(1, -2, 1)$ con vector director $\vec d_r = (1, 1, 2)$. Además$$\overrightarrow{AB} = (-2 - 0,\ 1 - 3,\ -1 - 1) = (-2, -2, -2) \parallel (1, 1, 1)$$Como $(1, 1, 2)$ y $(1, 1, 1)$ no son proporcionales, el plano queda determinado. Su vector normal:$$\vec n = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 2)\,\vec i - (1 - 2)\,\vec j + (1 - 1)\,\vec k = (-1, 1, 0)$$El plano que pasa por $A = (0, 3, 1)$ con normal $(-1, 1, 0)$:$$-(x - 0) + (y - 3) + 0\cdot(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x - y + 3 = 0$$Comprobación. $A$: $0 - 3 + 3 = 0$ ✓; $B$: $-2 - 1 + 3 = 0$ ✓; $\vec n \cdot \vec d_r = -1 + 1 + 0 = 0$ ✓. El punto $(1, -2, 1)$ de $r$ no está en el plano ($1 + 2 + 3 = 6 \neq 0$), así que $r$ es paralela al plano y no está contenida en él.