Rectas y planos

a) $\vec u = (1, 1, 1)$ y $\vec v = (1, 2, 3)$ no son proporcionales ($\frac{1}{1} \neq \frac{1}{2}$), así que generan un plano. Su producto vectorial:$$\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 2)\,\vec i - (3 - 1)\,\vec j + (2 - 1)\,\vec k = (1, -2, 1)$$El plano que pasa por $(1, 0, 1)$ con normal $(1, -2, 1)$:$$1\cdot(x - 1) - 2\cdot(y - 0) + 1\cdot(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x - 2y + z - 2 = 0$$Equivalentemente, con la ecuación en forma de determinante:$$\begin{vmatrix} x - 1 & y & z - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; (x - 1) - 2y + (z - 1) = 0$$Comprobación. El punto: $1 - 0 + 1 - 2 = 0$ ✓. Paralelismo: $\vec n \cdot \vec u = 1 - 2 + 1 = 0$ ✓ y $\vec n \cdot \vec v = 1 - 4 + 3 = 0$ ✓.

b) El plano paralelo a $3x + 2y + 2z + 1 = 0$ tiene el mismo vector normal $(3, 2, 2)$:$$3x + 2y + 2z + D = 0$$Imponemos que pase por $(1, 2, 3)$:$$3\cdot 1 + 2\cdot 2 + 2\cdot 3 + D = 0 \;\Longrightarrow\; 13 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -13$$El plano es $3x + 2y + 2z - 13 = 0$, distinto del dado (los términos independientes no coinciden), luego paralelo y no coincidente.