Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Castilla y León · 2022 · Julio

Enunciado

a) (1,2 puntos) Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

, hállese la matriz

X

tal que

AX + B = C

.

b) (0,8 puntos) Dadas las matrices

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

, explíquese cuáles de los productos

MN

MP

NP

pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b) Solo existe } MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix};\ MN \text{ y } NP \text{ no existen}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) despejamos

X

como en una ecuación de números, pero respetando el orden:

AX = C - B

y, si

A

es invertible, multiplicamos por la izquierda por

A^{-1}

, de modo que

X = A^{-1}(C - B)

.

En b) la regla es que el producto de una matriz

m \times n

por otra

p \times q

solo existe si

n = p

(columnas de la primera = filas de la segunda), y el resultado es

m \times q

Desarrollo

a) Pasamos

B

al otro miembro:

AX = C - B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

A

es invertible porque

|A| = 1\cdot 1 - 0\cdot 1 = 1 \neq 0

. Su inversa, por adjuntos (

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^t

\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

Multiplicando por la izquierda por

A^{-1}

X = A^{-1}(C - B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 + 1 & -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación.

AX + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = C \ ✓

b) Las dimensiones son

M_{2\times 3}

N_{2\times 2}

P_{3\times 2}

$MN$ : $M$ tiene 3 columnas y $N$ tiene 2 filas; como $3 \neq 2$ , no se puede calcular.
$MP$ : $M$ tiene 3 columnas y $P$ tiene 3 filas: sí se puede, y el resultado es $2 \times 2$ .
$NP$ : $N$ tiene 2 columnas y $P$ tiene 3 filas; como $2 \neq 3$ , no se puede calcular.

MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 \\ -1 + 1 + 0 & 0 + 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2

Consejo

El error típico en a) es escribir $X = (C - B)A^{-1}$ : el producto de matrices no es conmutativo, y como $A$ está a la izquierda de $X$ , la inversa también tiene que multiplicar por la izquierda.

En b) no basta con decir «sí» o «no»: escribe las dimensiones de cada matriz y compara columnas de la primera con filas de la segunda.