Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 4 \\ 2 & -1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)$$Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + m\cdot\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1\cdot 3 - 1\cdot 0 + m\cdot(-3) = 3 - 3m$$$$|A| = 0 \iff 3 - 3m = 0 \iff m = 1$$Caso $m \neq 1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $m = 1$. $|A| = 0$ y el menor de las dos primeras filas y columnas es$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 2 = -3 \neq 0,$$así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(0 + 6) - 1\cdot(0 - 3) + 4\cdot(-4 + 1) = 6 + 3 - 12 = -3 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible (no tiene solución).

b) Con $m = 2$, $|A| = 3 - 6 = -3 \neq 0$. Por Cramer:$$x = \frac{\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{4\cdot 3 - 1\cdot 3 + 2\cdot(-6)}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$$$$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{1\cdot 3 - 4\cdot 0 + 2\cdot(-3)}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$$$$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$$(el último determinante es el mismo que calculamos en el caso $m = 1$).

Comprobación. $(1, 1, 1)$: primera, $1 + 1 + 2 = 4$ ✓; segunda, $2 - 1 + 2 = 3$ ✓; tercera, $1 - 2 + 1 = 0$ ✓.