Probabilidad

a.1) Sea $X$ = número de niños con intolerancia en una mesa: $X \sim B(4;\ 0{,}2)$. Entonces$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{4}{0}\, 0{,}2^0\cdot 0{,}8^4 = 1 - 0{,}8^4 = 1 - 0{,}4096 = 0{,}5904.$$a.2) Por a.1), cada mesa necesita pan sin gluten con probabilidad $0{,}5904$ y no lo necesita con probabilidad $0{,}8^4 = 0{,}4096$. Las 8 mesas son independientes (los niños se sientan al azar), así que el número de mesas con pan sin gluten sigue una $B(8;\ 0{,}5904)$ y$$P(\text{alguna mesa}) = 1 - P(\text{ninguna mesa}) = 1 - 0{,}4096^8 = 1 - 0{,}8^{32} \approx 1 - 0{,}00079 = 0{,}9992.$$(Se ve también directamente: «ninguna mesa lo necesita» equivale a que ninguno de los $8\cdot 4 = 32$ niños tenga intolerancia, con probabilidad $0{,}8^{32}$.)

Es casi seguro que, con 8 mesas ocupadas, haya que servir pan sin gluten en alguna.

b.1) Tipificando con $Z = \dfrac{X - 985}{25} \sim N(0, 1)$:$$P(X > 1000) = P\left(Z > \frac{1000 - 985}{25}\right) = P(Z > 0{,}6) = 1 - P(Z \leq 0{,}6) = 1 - 0{,}7257 = 0{,}2743.$$Pesarán más de un kilo el 27,43 % de los paquetes.

b.2) Busco el peso $k$ tal que el 70 % de los paquetes pesen más que él:$$P(X \geq k) = 0{,}7 \;\Longrightarrow\; P\left(Z \geq \frac{k - 985}{25}\right) = 0{,}7.$$Como la probabilidad es mayor que $0{,}5$, el valor tipificado es negativo. Por simetría, si $z_0 > 0$ cumple $P(Z \leq z_0) = 0{,}7$, entonces $P(Z \geq -z_0) = 0{,}7$, así que$$\frac{k - 985}{25} = -z_0.$$En la tabla, $0{,}7$ queda entre $P(Z \leq 0{,}52) = 0{,}6985$ y $P(Z \leq 0{,}53) = 0{,}7019$; el más próximo es $0{,}6985$, luego $z_0 \approx 0{,}52$. Por tanto$$k = 985 - 25\cdot 0{,}52 = 985 - 13 = 972\ \text{g}.$$(Interpolando, $z_0 \approx 0{,}5244$ y $k \approx 971{,}9$ g: prácticamente lo mismo.)

El más ligero del 70 % de los paquetes que más pesan pesa unos 972 g.