Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2022 · Junio

Enunciado

a) [1,25 puntos] Sean los vectores

\vec u = (1, 1, 1)

\vec v = (1, 0, 1)

. Calcula el plano que pasa por el punto

A = (0, 0, 1)

y con vector normal el producto vectorial de

\vec u

\vec v

.

b) El EVAU club de fútbol tiene una probabilidad del 90 % de ganar un partido cuando juega Benceno (su delantero estrella) y del 60 % cuando no lo hace. Se sabe que la probabilidad de que Benceno juegue un partido es del 80 %.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el EVAU C.F. gane un partido cualquiera?

b.2) [0,75 puntos] Si el EVAU C.F. acaba de ganar un partido, ¿cuál es la probabilidad de que Benceno haya jugado?

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Resultado

\boxed{\text{a) } \pi \equiv x - z + 1 = 0}

\boxed{\text{b.1) } P(G) = 0{,}84 \qquad \text{b.2) } P(B \mid G) = \frac{6}{7} \approx 0{,}857}

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Estrategia

a) Es directo: calculo

\vec n = \vec u \times \vec v

con el determinante simbólico y escribo la ecuación del plano en la forma punto-normal,

\vec n\cdot(X - A) = 0

.

b) El sistema completo de sucesos es «juega Benceno» / «no juega», y el resultado que nos interesa es «gana». Con un diagrama de árbol: la probabilidad de ganar se reparte entre las dos ramas (probabilidad total) y, sabiendo que ha ganado, la probabilidad de que jugase Benceno es la parte de esa rama sobre el total (Bayes).

Desarrollo

a) Producto vectorial:

\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1 - 1\cdot 0)\,\vec i - (1\cdot 1 - 1\cdot 1)\,\vec j + (1\cdot 0 - 1\cdot 1)\,\vec k = (1, 0, -1).

El plano que pasa por

A = (0, 0, 1)

con normal

(1, 0, -1)

1\,(x - 0) + 0\,(y - 0) - 1\,(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x - z + 1 = 0.

Comprobación.

A

0 - 1 + 1 = 0

. Además

\vec n\cdot\vec u = 1 + 0 - 1 = 0

\vec n\cdot\vec v = 1 + 0 - 1 = 0

: el normal es perpendicular a los dos vectores, como debe ser un producto vectorial.

b) Sucesos:

B

= «juega Benceno»,

G

= «el EVAU C.F. gana el partido». Datos:

P(B) = 0{,}8, \quad P(\overline B) = 0{,}2, \quad P(G \mid B) = 0{,}9, \quad P(G \mid \overline B) = 0{,}6.

Árbol:

Juega ( $0{,}8$ ) $\to$ gana ( $0{,}9$ ): $0{,}8\cdot 0{,}9 = 0{,}72$ ; no gana ( $0{,}1$ ): $0{,}08$ .
No juega ( $0{,}2$ ) $\to$ gana ( $0{,}6$ ): $0{,}2\cdot 0{,}6 = 0{,}12$ ; no gana ( $0{,}4$ ): $0{,}08$ .

b.1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(G) = P(B)\,P(G \mid B) + P(\overline B)\,P(G \mid \overline B) = 0{,}8\cdot 0{,}9 + 0{,}2\cdot 0{,}6 = 0{,}72 + 0{,}12 = 0{,}84.

b.2) Por el teorema de Bayes:

P(B \mid G) = \frac{P(B)\,P(G \mid B)}{P(G)} = \frac{0{,}72}{0{,}84} = \frac{6}{7} \approx 0{,}8571.

Tiene sentido que sea algo mayor que

0{,}8

: saber que el equipo ha ganado hace más probable que jugase su delantero estrella.

Comprobación. Las cuatro ramas suman

0{,}72 + 0{,}08 + 0{,}12 + 0{,}08 = 1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En el producto vectorial, el error típico es el signo de la segunda componente: el adjunto de $\vec j$ va con signo menos. Comprueba siempre que el resultado es perpendicular a los dos vectores.

En b), define los sucesos con letras antes de calcular y distingue $P(G \mid B)$ (dato) de $P(B \mid G)$ (lo que se pide en b.2): el denominador de Bayes es la probabilidad total de b.1.