a) [1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz M en función del parámetro m \in \mathbb{R}, siendo M = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & m \\ 4 & 1 & m & 2 \end{pmatrix}. b) [1 punto] Sean los planos \pi_1 \equiv 2x + my = 1, \pi_2 \equiv 2x + y = m y \pi_3 \equiv 4x + y + mz = 2. Estudia su posición relativa según los valores de m. Puedes utilizar los resultados obtenidos en el apartado anterior.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

También trata: Sistemas de ecuaciones

Castilla-La Mancha · 2022 · Junio

Enunciado

a) [1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz

M

en función del parámetro

m \in \mathbb{R}

, siendo

M = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & m \\ 4 & 1 & m & 2 \end{pmatrix}.

b) [1 punto] Sean los planos

\pi_1 \equiv 2x + my = 1

\pi_2 \equiv 2x + y = m

\pi_3 \equiv 4x + y + mz = 2

. Estudia su posición relativa según los valores de

m

. Puedes utilizar los resultados obtenidos en el apartado anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \operatorname{rg}(M) = 3 \text{ si } m \neq 1;\ \operatorname{rg}(M) = 2 \text{ si } m = 1}

\boxed{\text{b) } m \neq 0, 1\text{: un punto};\ m = 0\text{: se cortan dos a dos};\ m = 1\text{: } \pi_1 = \pi_2 \text{, recta común}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

M

3\times 4

, así que su rango es como mucho 3. Busco un menor de orden 3 que dependa de

m

de forma sencilla: el de las tres primeras columnas tiene una columna con un solo elemento no nulo y se desarrolla en un paso. Donde ese menor no se anula, el rango es 3; en los valores que lo anulan, miro otros menores.

b) La clave es darse cuenta de que

M

es la matriz ampliada del sistema formado por los tres planos, y sus tres primeras columnas son la matriz de coeficientes

C

. Con los rangos de

C

y de

M

(Rouché-Frobenius) sé si el sistema tiene solución única, infinitas o ninguna, y eso se traduce en la posición de los planos.

Desarrollo

a) Menor formado por las columnas 1, 2 y 3, desarrollado por la tercera columna (solo tiene el elemento

m

\begin{vmatrix} 2 & m & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & m \end{vmatrix} = m\begin{vmatrix} 2 & m \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = m\,(2 - 2m) = 2m\,(1 - m).

Se anula si y solo si

m = 0

m = 1

Si $m \neq 0$ y $m \neq 1$ : hay un menor de orden 3 no nulo, luego $\operatorname{rg}(M) = 3$ .

Si $m = 0$ :

M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

La tercera columna es nula, pero el menor de las columnas 1, 2 y 4 es

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\,(2 - 0) - 0 + 1\,(2 - 4) = 4 - 2 = 2 \neq 0,

así que

\operatorname{rg}(M) = 3

Si $m = 1$ :

M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Las filas 1 y 2 son iguales, así que

\operatorname{rg}(M) \leq 2

. Como

\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2 \neq 0

\operatorname{rg}(M) = 2

.

En resumen:

\operatorname{rg}(M) = 3

m \neq 1

, y

\operatorname{rg}(M) = 2

m = 1

.

b) El sistema de los tres planos es

\left\{\begin{array}{l} 2x + my = 1 \\ 2x + y = m \\ 4x + y + mz = 2 \end{array}\right.

Su matriz de coeficientes

C

son las tres primeras columnas de

M

, y la ampliada es exactamente

M

(los términos independientes

1

m

2

son la cuarta columna). Por a),

|C| = 2m(1 - m)

Si $m \neq 0$ y $m \neq 1$ : $\operatorname{rg}(C) = 3 = \operatorname{rg}(M)$ , sistema compatible determinado: los tres planos se cortan en un único punto.

Si $m = 0$ : $|C| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$ , así que $\operatorname{rg}(C) = 2$ , mientras que $\operatorname{rg}(M) = 3$ : sistema incompatible, no hay ningún punto común. Los planos son

\pi_1 \equiv 2x = 1, \qquad \pi_2 \equiv 2x + y = 0, \qquad \pi_3 \equiv 4x + y = 2,

con normales

(2, 0, 0)

(2, 1, 0)

(4, 1, 0)

, ninguna proporcional a otra: no hay dos planos paralelos. Por tanto se cortan dos a dos en tres rectas paralelas (todas con dirección

(0, 0, 1)

), formando una superficie prismática triangular.

Si $m = 1$ : $\operatorname{rg}(C) = \operatorname{rg}(M) = 2 < 3$ : sistema compatible indeterminado. Los planos quedan

\pi_1 \equiv 2x + y = 1, \qquad \pi_2 \equiv 2x + y = 1, \qquad \pi_3 \equiv 4x + y + z = 2:

\pi_1

\pi_2

son el mismo plano, y

\pi_3

(con normal

(4, 1, 1)

, no proporcional a

(2, 1, 0)

) lo corta: los tres planos tienen una recta en común.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) no confundas «el menor de las tres primeras columnas se anula» con «el rango es 2»: con $m = 0$ hay otro menor de orden 3 distinto de cero. Hay que mirar todos los menores posibles antes de bajar el rango.

En b), el rango de $C$ y el de $M$ no tienen por qué coincidir: con $m = 0$ el sistema es incompatible. Y para describir la posición, mira si hay planos paralelos o coincidentes comparando sus ecuaciones.