Sean las rectas r \equiv \left\{\begin{array}{lcl} x & = & 2\lambda \\ y & = & -\lambda \\ z & = & a \end{array}\right., \qquad s \equiv \left\{\begin{array}{lcl} x & = & -1 \\ y & = & \mu \\ z & = & -5\mu \end{array}\right., donde \lambda y \mu son los parámetros y a \in \mathbb{R}. a) [1,5 puntos] Estudia su posición relativa en función de los valores que toma a. b) [1 punto] Encuentra razonadamente un plano que contenga a s y que sea paralelo a r.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2022 · Junio

Enunciado

Sean las rectas

r \equiv \left\{\begin{array}{lcl} x & = & 2\lambda \\ y & = & -\lambda \\ z & = & a \end{array}\right., \qquad s \equiv \left\{\begin{array}{lcl} x & = & -1 \\ y & = & \mu \\ z & = & -5\mu \end{array}\right.,

donde

\lambda

\mu

son los parámetros y

a \in \mathbb{R}

.

a) [1,5 puntos] Estudia su posición relativa en función de los valores que toma

a

.

b) [1 punto] Encuentra razonadamente un plano que contenga a

s

y que sea paralelo a

r

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Resultado

\boxed{\text{a) } a = -\tfrac{5}{2}\text{: se cortan en } \left(-1, \tfrac12, -\tfrac52\right);\ \ a \neq -\tfrac{5}{2}\text{: se cruzan}}

\boxed{\text{b) } \pi \equiv 5x + 10y + 2z + 5 = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De cada recta saco un punto y un vector director. Primero miro los vectores directores: si no son proporcionales, las rectas no pueden ser paralelas ni coincidentes, y solo quedan dos opciones, se cortan o se cruzan. Las distingue el producto mixto de los dos directores y el vector que une un punto de cada recta: si es cero, los tres vectores son coplanarios y las rectas se cortan; si no, se cruzan. Ese determinante dependerá de

a

.

b) Un plano que contiene a

s

pasa por un punto de

s

y contiene a su director; si además es paralelo a

r

, contiene también la dirección de

r

. Con un punto y dos vectores, el vector normal es su producto vectorial.

Desarrollo

Elementos de cada recta.

$r$ : punto $P_r = (0, 0, a)$ (con $\lambda = 0$ ) y director $\vec u = (2, -1, 0)$ .
$s$ : punto $P_s = (-1, 0, 0)$ (con $\mu = 0$ ) y director $\vec v = (0, 1, -5)$ .

a) Los directores

(2, -1, 0)

(0, 1, -5)

no son proporcionales (la primera componente de

\vec v

es 0 y la de

\vec u

no), así que las rectas ni son paralelas ni coincidentes, sea cual sea

a

.

Para decidir si se cortan o se cruzan uso el vector

\overrightarrow{P_r P_s} = (-1, 0, -a)

y calculo el producto mixto

[\vec u, \vec v, \overrightarrow{P_r P_s}]

\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -5 \\ -1 & 0 & -a \end{vmatrix} = 2\,(1\cdot(-a) - (-5)\cdot 0) - (-1)\,(0\cdot(-a) - (-5)(-1)) + 0 = -2a - 5.

-2a - 5 = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = -\frac{5}{2}.

Si $a = -\dfrac{5}{2}$ : los tres vectores son coplanarios y, como los directores no son paralelos, las rectas se cortan en un punto.
Si $a \neq -\dfrac{5}{2}$ : el producto mixto no es nulo, las rectas no son coplanarias y se cruzan.

Punto de corte cuando

a = -\frac{5}{2}

. Igualo las coordenadas:

2\lambda = -1, \qquad -\lambda = \mu, \qquad -\frac{5}{2} = -5\mu.

De la primera,

\lambda = -\frac12

; de la segunda,

\mu = \frac12

; y la tercera se cumple:

-5\cdot\frac12 = -\frac52

. El punto es

Q = \left(-1,\ \frac{1}{2},\ -\frac{5}{2}\right).

b) El plano pedido pasa por

P_s = (-1, 0, 0)

y contiene a los vectores

\vec v = (0, 1, -5)

(porque contiene a

s

) y

\vec u = (2, -1, 0)

(porque es paralelo a

r

). Su vector normal es

\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \left((-1)(-5) - 0\cdot 1,\ 0\cdot 0 - 2\cdot(-5),\ 2\cdot 1 - (-1)\cdot 0\right) = (5, 10, 2).

El plano es

5(x + 1) + 10(y - 0) + 2(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 5x + 10y + 2z + 5 = 0.

Comprobación.

P_s

-5 + 0 + 0 + 5 = 0

;

\vec n\cdot\vec v = 0 + 10 - 10 = 0

\vec n\cdot\vec u = 10 - 10 + 0 = 0

.

Como los directores no son paralelos, este plano es único. Al sustituir el punto

P_r = (0, 0, a)

queda

2a + 5

: si

a \neq -\frac52

r

es paralela al plano sin estar en él, y si

a = -\frac52

r

está contenida en el plano (lógico: entonces

r

s

se cortan y

\pi

es el plano que las contiene a las dos).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mira primero los vectores directores: si no son proporcionales, ya sabes que solo pueden cortarse o cruzarse, y basta con el producto mixto (no hace falta estudiar rangos con la matriz ampliada completa).

En b) el normal del plano debe ser perpendicular a los dos directores: compruébalo con los productos escalares. Y usa un punto de $s$ , no de $r$ : el plano tiene que contener a $s$ .