Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2022 · Junio

Enunciado

a) Sea la curva

f(x) = a - x^2

.

a.1) [0,5 puntos] ¿Qué valores puede tomar

a \in \mathbb{R}

para que la curva

f(x) = a - x^2

corte al eje de abscisas (eje OX) en dos puntos y, por tanto, delimite con dicho eje un recinto cerrado?

a.2) [1 punto] Encuentra razonadamente

a \in \mathbb{R}

para que el área de dicho recinto valga 36.

b) [1 punto] Resuelve la siguiente integral:

\int \frac{2x}{\sqrt{1 + 3x^2}}\, dx.

El cambio de variable

t = 1 + 3x^2

te puede ayudar.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a.1) } a > 0 \qquad \text{a.2) } a = 9}

\boxed{\text{b) } \int \frac{2x}{\sqrt{1 + 3x^2}}\, dx = \frac{2}{3}\sqrt{1 + 3x^2} + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) La gráfica de

f(x) = a - x^2

es una parábola hacia abajo con el vértice en

(0, a)

. Corta al eje OX en dos puntos solo si el vértice está por encima del eje, es decir, si

a > 0

; entonces los cortes son

x = \pm\sqrt{a}

y entre ellos la parábola queda por encima del eje. El área del recinto es la integral de

f

entre esos dos cortes: sale en función de

a

e igualo a 36. Como

f

es par, puedo integrar de

0

\sqrt a

y multiplicar por 2.

b) El numerador

2x

es, salvo una constante, la derivada de lo que hay dentro de la raíz. Con el cambio

t = 1 + 3x^2

la integral se convierte en una potencia de

t

, que es inmediata. Al final deshago el cambio y no me olvido de la constante.

Desarrollo

a.1) Los cortes con el eje OX son las soluciones de

a - x^2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2 = a.

Si $a > 0$ : dos soluciones, $x = -\sqrt{a}$ y $x = \sqrt{a}$ .
Si $a = 0$ : una sola, $x = 0$ (la parábola es tangente al eje y no encierra nada).
Si $a < 0$ : ninguna (la parábola queda entera por debajo del eje).

Por tanto la curva corta al eje en dos puntos, y delimita con él un recinto cerrado, si y solo si

a > 0.

a.2) Con

a > 0

, el recinto está entre

x = -\sqrt a

x = \sqrt a

, y ahí

f(x) = a - x^2 \geq 0

(por ejemplo,

f(0) = a > 0

), así que el área es la integral sin valor absoluto. Como

f

es par, el recinto es simétrico respecto del eje OY:

\text{Área} = \int_{-\sqrt a}^{\sqrt a} (a - x^2)\, dx = 2\int_{0}^{\sqrt a} (a - x^2)\, dx = 2\left[a x - \frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt a}.

Por la regla de Barrow:

\text{Área} = 2\left(a\sqrt a - \frac{a\sqrt a}{3}\right) = 2\cdot\frac{2a\sqrt a}{3} = \frac{4}{3}\, a\sqrt a = \frac{4}{3}\, a^{3/2}.

Igualo a 36:

\frac{4}{3}\, a^{3/2} = 36 \;\Longrightarrow\; a^{3/2} = 27 \;\Longrightarrow\; a = 27^{2/3} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9.

Es positivo, así que es válido.

Comprobación. Con

a = 9

los cortes son

x = \pm 3

\int_{-3}^{3} (9 - x^2)\, dx = \left[9x - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{3} = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 + 18 = 36.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Hago el cambio

t = 1 + 3x^2 \;\Longrightarrow\; dt = 6x\, dx \;\Longrightarrow\; 2x\, dx = \frac{dt}{3}.

Entonces

\int \frac{2x}{\sqrt{1 + 3x^2}}\, dx = \int \frac{1}{\sqrt t}\cdot\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\int t^{-1/2}\, dt = \frac{1}{3}\cdot\frac{t^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt t + C.

Deshaciendo el cambio:

\int \frac{2x}{\sqrt{1 + 3x^2}}\, dx = \frac{2}{3}\sqrt{1 + 3x^2} + C.

Comprobación derivando:

\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}\sqrt{1 + 3x^2}\right) = \frac{2}{3}\cdot\frac{6x}{2\sqrt{1 + 3x^2}} = \frac{2x}{\sqrt{1 + 3x^2}}.

Consejo

En a.1) justifica los tres casos: con $a = 0$ hay un único punto de contacto y no hay recinto, así que la respuesta es $a > 0$ estricto, no $a \geq 0$ .

En a.2), antes de integrar comprueba que la función es positiva en el intervalo: si no, el área no es la integral sin más. En b), deshaz siempre el cambio de variable y pon la constante $C$ : dejar la primitiva en función de $t$ o sin $+C$ se penaliza.