Sistemas de ecuaciones

a) Llamo $x$, $y$, $z$ al precio en euros de un lápiz, un cuaderno y una agenda. Las dos frases del enunciado dan$$\left\{\begin{array}{l} 3x + y + z = 5 \\ 2y + z = 5 \end{array}\right.$$La matriz de coeficientes $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ tiene rango 2 (el menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 6 \neq 0$), igual que la ampliada, y hay 3 incógnitas: por Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado, con un parámetro libre.

De la segunda ecuación, $z = 5 - 2y$. Sustituyendo en la primera:$$3x + y + 5 - 2y = 5 \;\Longrightarrow\; 3x - y = 0 \;\Longrightarrow\; y = 3x.$$Tomando $x$ como parámetro:$$x = x, \qquad y = 3x, \qquad z = 5 - 6x.$$Ninguno es gratis: los tres precios han de ser positivos,$$x > 0, \qquad 3x > 0, \qquad 5 - 6x > 0 \;\Longrightarrow\; 0 < x < \frac{5}{6} \approx 0{,}83\ \text{euros}.$$Múltiplos de 50 céntimos: el único múltiplo de 0,50 euros en el intervalo $(0;\ 0{,}83)$ es $x = 0{,}50$ euros. Entonces$$y = 3\cdot 0{,}50 = 1{,}50\ \text{euros}, \qquad z = 5 - 6\cdot 0{,}50 = 2\ \text{euros},$$y los dos también son múltiplos de 50 céntimos. Por tanto sí podemos saber los precios: la solución es única.

Comprobación. Tres lápices, un cuaderno y una agenda: $3\cdot 0{,}50 + 1{,}50 + 2 = 5$ euros. Dos cuadernos y una agenda: $2\cdot 1{,}50 + 2 = 5$ euros.

b) Al sustituir: $\dfrac{x+1}{x} = 1 + \dfrac{1}{x} \to 1$ y $\dfrac{x^2+1}{x} \to +\infty$, así que tenemos $1^\infty$. Aplico$$\lim_{x\to+\infty} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x\to+\infty} g(x)\,\left(f(x) - 1\right)}.$$Calculo el exponente:$$\lim_{x\to+\infty} \frac{x^2 + 1}{x}\left(\frac{x + 1}{x} - 1\right) = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2 + 1}{x}\cdot\frac{1}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2} = 1,$$porque numerador y denominador tienen el mismo grado y los coeficientes principales valen 1. Por tanto$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{\frac{x^2 + 1}{x}} = e^1 = e.$$(Comprobación numérica: con $x = 1000$ la expresión vale $2{,}7169\ldots$ y con $x = 10^5$, $2{,}71827\ldots$, que se acercan a $e \approx 2{,}71828$.)