Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Castilla-La Mancha · 2022 · Junio

Enunciado

a) [1,5 puntos] Encuentra todas las matrices

X

que conmutan con la matriz

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},

es decir, que verifican que

AX = XA

.

b) [1 punto] ¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con

A

y cuyo determinante valga 4?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } X = \begin{pmatrix} 3c + d & 0 \\ c & d \end{pmatrix},\ c, d \in \mathbb{R}}

\boxed{\text{b) Sí: } X = 2I \ \text{ y } \ X = -2I}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El producto de matrices no es conmutativo, así que pedir

AX = XA

es una condición de verdad. Como

A

2\times 2

X

también tiene que serlo (si no, uno de los dos productos no existiría o tendrían tamaños distintos). Escribo

X

con cuatro incógnitas, hago los dos productos e igualo elemento a elemento: sale un sistema lineal homogéneo con infinitas soluciones, que da la forma general de las matrices que conmutan con

A

.

En b) parto de esa forma general y le añado dos condiciones: ser simétrica (

X^t = X

, es decir, los dos elementos fuera de la diagonal iguales) y tener determinante 4.

Desarrollo

a) Sea

X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.

Calculo los dos productos:

AX = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 2b \\ a - c & b - d \end{pmatrix}

XA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b & -b \\ 2c + d & -d \end{pmatrix}

Igualando elemento a elemento:

\left\{\begin{array}{lcl} 2a = 2a + b & \Longrightarrow & b = 0 \\ 2b = -b & \Longrightarrow & 3b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0 \\ a - c = 2c + d & \Longrightarrow & a = 3c + d \\ b - d = -d & \Longrightarrow & b = 0 \end{array}\right.

Así que

b = 0

a = 3c + d

, y

c

d

quedan libres. Las matrices que conmutan con

A

son

X = \begin{pmatrix} 3c + d & 0 \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad c,\ d \in \mathbb{R},

que también se puede escribir como

X = c\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + d\, I

.

Comprobación (con

c

d

generales):

AX = \begin{pmatrix} 6c + 2d & 0 \\ 3c + d - c & -d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6c + 2d & 0 \\ 2c + d & -d \end{pmatrix}, \qquad XA = \begin{pmatrix} 2(3c + d) & 0 \\ 2c + d & -d \end{pmatrix}.

Coinciden.

b) Una matriz que conmuta con

A

tiene la forma de a). Para que además sea simétrica (

X^t = X

), los elementos fuera de la diagonal deben ser iguales:

b = c

. Como

b = 0

, ha de ser

c = 0

, y entonces

X = \begin{pmatrix} d & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} = d\, I.

Su determinante es

|X| = d^2 = 4 \;\Longrightarrow\; d = 2 \quad\text{o}\quad d = -2.

Por tanto sí existen, y son exactamente dos:

X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I \qquad\text{y}\qquad X = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = -2I.

Tiene sentido: cualquier múltiplo de la identidad conmuta con cualquier matriz, porque

A(dI) = dA = (dI)A

Consejo

No escribas $X$ con un tamaño distinto de $2\times 2$ : para que existan $AX$ y $XA$ y se puedan igualar, $X$ ha de ser cuadrada del mismo orden que $A$ .

Al igualar, salen cuatro ecuaciones pero no todas independientes: no te asustes si te quedan incógnitas libres, la respuesta es una familia de matrices. En b) no te olvides de la solución negativa: $d^2 = 4$ da $d = \pm 2$ .