Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2022 · Julio

Enunciado

a) En un determinado I.E.S. la probabilidad de que un alumno apruebe si va a clase es del

80\ \%

mientras que si no va a clase es del

50\ \%

. El

90\ \%

de los alumnos va a clase.

a.1) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?

a.2) (0,75 puntos) Si un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a clase?

b) Una empresa embotelladora de agua produce botellas de

150

ml. La cantidad que realmente contienen sigue una distribución normal con media

150

ml y desviación típica

5

ml.

b.1) (0,5 puntos) ¿Qué proporción de las botellas contiene más de

152

ml?

b.2) (0,75 puntos) ¿Qué proporción de botellas tiene entre

149

152

ml?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a.1) } P(A) = 0{,}77 \qquad \text{a.2) } P(\overline{C} \mid \overline{A}) = \frac{5}{23} \approx 0{,}2174}

\boxed{\text{b.1) } P(X > 152) = 0{,}3446 \qquad \text{b.2) } P(149 < X < 152) = 0{,}2347}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) los porcentajes de aprobar están dados condicionados a ir o no a clase: es el esquema de un diagrama de árbol con dos ramas (va / no va) y, en cada una, aprueba o suspende. La probabilidad de aprobar se obtiene con el teorema de la probabilidad total (sumando las dos ramas que acaban en «aprueba»), y la pregunta a.2 va «al revés» (sabemos el resultado y preguntamos por la causa): es el teorema de Bayes.

En b) tipificamos con

Z = \frac{X - 150}{5}

y buscamos en la tabla de la

N(0, 1)

, que da

P(Z \leq z)

para

z \geq 0

. La cola de la derecha se saca por el complementario y el valor negativo, por simetría.

Desarrollo

a) Sucesos:

C

= «el alumno va a clase» y

A

= «el alumno aprueba». Datos:

P(C) = 0{,}9,\quad P(\overline{C}) = 0{,}1,\qquad P(A \mid C) = 0{,}8,\quad P(A \mid \overline{C}) = 0{,}5

y, por tanto,

P(\overline{A} \mid C) = 0{,}2

P(\overline{A} \mid \overline{C}) = 0{,}5

. El árbol:

Rama	Probabilidad
$C$ y aprueba	$0{,}9\cdot 0{,}8 = 0{,}72$
$C$ y suspende	$0{,}9\cdot 0{,}2 = 0{,}18$
$\overline{C}$ y aprueba	$0{,}1\cdot 0{,}5 = 0{,}05$
$\overline{C}$ y suspende	$0{,}1\cdot 0{,}5 = 0{,}05$

a.1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(A) = P(C)\,P(A \mid C) + P(\overline{C})\,P(A \mid \overline{C}) = 0{,}72 + 0{,}05 = 0{,}77

a.2) La probabilidad de suspender es

P(\overline{A}) = 1 - 0{,}77 = 0{,}23

0{,}18 + 0{,}05

). Por el teorema de Bayes:

P(\overline{C} \mid \overline{A}) = \frac{P(\overline{C})\,P(\overline{A} \mid \overline{C})}{P(\overline{A})} = \frac{0{,}1\cdot 0{,}5}{0{,}23} = \frac{0{,}05}{0{,}23} = \frac{5}{23} \approx 0{,}2174

Tiene sentido: solo el

10\ \%

falta a clase, pero entre los que suspenden son algo más del

21\ \%

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b) Sea

X

= «contenido, en ml, de una botella», con

X \sim N(150;\ 5)

, y

Z \sim N(0, 1)

.

b.1) Tipificamos:

P(X > 152) = P\left(Z > \frac{152 - 150}{5}\right) = P(Z > 0{,}4) = 1 - P(Z \leq 0{,}4) = 1 - 0{,}6554 = 0{,}3446

Alrededor del

34{,}46\ \%

de las botellas contiene más de 152 ml.

b.2) Tipificamos los dos extremos:

z_1 = \frac{149 - 150}{5} = -0{,}2, \qquad z_2 = \frac{152 - 150}{5} = 0{,}4

P(149 < X < 152) = P(-0{,}2 < Z < 0{,}4) = P(Z \leq 0{,}4) - P(Z \leq -0{,}2)

Por simetría,

P(Z \leq -0{,}2) = 1 - P(Z \leq 0{,}2) = 1 - 0{,}5793 = 0{,}4207

. Entonces

P(149 < X < 152) = 0{,}6554 - 0{,}4207 = 0{,}2347

Alrededor del

23{,}47\ \%

de las botellas tiene entre 149 y 152 ml.

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Consejo

En a.2) el error típico es dar $P(\overline{A} \mid \overline{C}) = 0{,}5$ : lo que se pide es la probabilidad de no ir a clase sabiendo que ha suspendido, y eso es Bayes.

En b) la tabla del examen empieza en $0{,}10$ y solo tiene valores positivos: escribe el paso $P(Z \leq -0{,}2) = 1 - P(Z \leq 0{,}2)$ en lugar de buscar $-0{,}2$ directamente.