Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

También trata: Probabilidad
Castilla-La Mancha · 2022 · Julio
Enunciado
a) (1,5 puntos) Despeja la matriz XX de la ecuación matricial A⋅X+B=XA \cdot X + B = X, siendo XX, AA y BB matrices cuadradas cualesquiera. Calcula XX para las matricesA=(3−102);B=(2012).A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.b) (1 punto) Un piloto de Fórmula 1 tiene una probabilidad del 60 %60\ \% de ganar una carrera cualquiera. Si participa en las próximas 4 carreras, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos dos?

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para n=4n = 4.)
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Resultado
a) X=(I−A)−1B=(−32−1−1−2)\boxed{\text{a) } X = (I - A)^{-1}B = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}}b) G∼B(4; 0,6):P(G≥2)=0,8208\boxed{\text{b) } G \sim B(4;\ 0{,}6):\quad P(G \geq 2) = 0{,}8208}
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Estrategia

En a) pasamos todos los términos con XX a un lado y sacamos XX factor común por la derecha: como el producto de matrices no es conmutativo, XX tiene que quedar a la derecha de lo que la multiplica, y el 1 de XX se convierte en la matriz identidad II. Si la matriz que multiplica a XX tiene inversa, multiplicamos por ella por la izquierda.

En b) cada carrera es un ensayo con dos resultados (gana o no), siempre con la misma probabilidad y de forma independiente: el número de victorias sigue una binomial B(4; 0,6)B(4;\ 0{,}6). «Al menos dos» es 2, 3 o 4; también se puede hacer por el complementario.
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Desarrollo

a) Despeje general.AX+B=X  ⟹  B=X−AX  ⟹  B=(I−A)XAX + B = X \;\Longrightarrow\; B = X - AX \;\Longrightarrow\; B = (I - A)XSi I−AI - A es invertible, multiplicando por (I−A)−1(I - A)^{-1} por la izquierda:X=(I−A)−1BX = (I - A)^{-1}BCálculo.I−A=(1001)−(3−102)=(−210−1),∣I−A∣=(−2)(−1)−1⋅0=2≠0I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad |I - A| = (-2)(-1) - 1\cdot 0 = 2 \neq 0así que I−AI - A es invertible. Su inversa (en una 2×22\times 2, se intercambian los elementos de la diagonal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante):(I−A)−1=12(−1−10−2)=(−12−120−1)(I - A)^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{pmatrix}X=(I−A)−1B=(−12−120−1)(2012)=(−1−120−10−10−2)=(−32−1−1−2)X = (I - A)^{-1}B = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - \frac{1}{2} & 0 - 1 \\ 0 - 1 & 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}Comprobación.AX+B=(3−102)(−32−1−1−2)+(2012)=(−72−1−2−4)+(2012)=(−32−1−1−2)=XAX + B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{2} & -1 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = X
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Sea GG = «número de carreras que gana el piloto de las 4». Las carreras son independientes y en cada una gana con probabilidad p=0,6p = 0{,}6, así queG∼B(n=4; p=0,6),P(G=k)=(4k)0,6k 0,44−kG \sim B(n = 4;\ p = 0{,}6), \qquad P(G = k) = \binom{4}{k}0{,}6^k\,0{,}4^{4-k}De la tabla (columna p=0,6p = 0{,}6):P(G=2)=0,3456,P(G=3)=0,3456,P(G=4)=0,1296P(G = 2) = 0{,}3456, \qquad P(G = 3) = 0{,}3456, \qquad P(G = 4) = 0{,}1296P(G≥2)=0,3456+0,3456+0,1296=0,8208P(G \geq 2) = 0{,}3456 + 0{,}3456 + 0{,}1296 = 0{,}8208Por el complementario sale lo mismo, con P(G=0)=0,0256P(G = 0) = 0{,}0256 y P(G=1)=0,1536P(G = 1) = 0{,}1536:P(G≥2)=1−P(G=0)−P(G=1)=1−0,0256−0,1536=0,8208P(G \geq 2) = 1 - P(G = 0) - P(G = 1) = 1 - 0{,}0256 - 0{,}1536 = 0{,}8208(Sin tabla: P(G=2)=6⋅0,36⋅0,16=0,3456P(G = 2) = 6\cdot 0{,}36\cdot 0{,}16 = 0{,}3456, P(G=3)=4⋅0,216⋅0,4=0,3456P(G = 3) = 4\cdot 0{,}216\cdot 0{,}4 = 0{,}3456 y P(G=4)=0,64=0,1296P(G = 4) = 0{,}6^4 = 0{,}1296.)
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Consejo

En a), escribir X(I−A)=BX(I - A) = B o X=B(I−A)−1X = B(I - A)^{-1} es un error grave: XX multiplica a la derecha de AA, así que el factor común sale por la izquierda y la inversa también va a la izquierda. Y escribe I−AI - A, nunca 1−A1 - A.

En b), «al menos dos» incluye el 2. Di qué variable es, que es binomial y con qué nn y pp: el planteamiento es buena parte de la nota.
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