Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2022 · Julio

Enunciado

a) (1,5 puntos) Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos

A = (a, 0, 1)

B = (1, 3, 0)

C = (0, 1, 0)

D = (1, 1, 1)

, con

a \in \mathbb{R}

. Halla los valores de

a

para que el volumen de dicho tetraedro sea 1.

b) (1 punto) Enuncia el teorema de Bolzano. Utiliza este teorema para razonar que la función

f(x) = \left(2e^x - 8x - 3\right) / \left(x^2 + 2\right)

corta al eje de abscisas al menos una vez.

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Resultado

\boxed{\text{a) } V = \frac{|2a - 1|}{6} = 1 \iff a = \frac{7}{2}\ \text{ o }\ a = -\frac{5}{2}}

\boxed{\text{b) } f \text{ continua en } [-1, 0],\ f(-1) > 0 > f(0) \;\Rightarrow\; \exists\, c \in (-1, 0):\ f(c) = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres aristas que salen del mismo vértice. Conviene tomar como vértice común uno sin parámetro, como

C

, para que

a

aparezca en una sola fila. El producto mixto saldrá una expresión de primer grado en

a

, y al igualar su valor absoluto a 6 aparecen dos soluciones.

En b), «cortar al eje de abscisas» es tener un cero. Bolzano lo garantiza si la función es continua en un intervalo cerrado y cambia de signo en sus extremos. La continuidad aquí es fácil (el denominador nunca se anula); lo que hay que buscar es un intervalo con valores sencillos donde cambie el signo.

Desarrollo

a) Aristas desde

C = (0, 1, 0)

\overrightarrow{CA} = (a, -1, 1), \qquad \overrightarrow{CB} = (1, 2, 0), \qquad \overrightarrow{CD} = (1, 0, 1)

Producto mixto:

\left[\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}\right] = \begin{vmatrix} a & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = a(2 - 0) - (-1)(1 - 0) + 1(0 - 2) = 2a + 1 - 2 = 2a - 1

El volumen del tetraedro es

V = \frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}\right]\right| = \frac{|2a - 1|}{6}

Imponemos

V = 1

|2a - 1| = 6 \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} 2a - 1 = 6 \;\Rightarrow\; a = \dfrac{7}{2} \\[2mm] 2a - 1 = -6 \;\Rightarrow\; a = -\dfrac{5}{2} \end{array}\right.

Comprobación: con

a = \frac{7}{2}

el producto mixto vale

6

y con

a = -\frac{5}{2}

vale

-6

; en los dos casos

V = \frac{6}{6} = 1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Teorema de Bolzano. Si

f

es una función continua en un intervalo cerrado

[p, q]

f(p)

f(q)

tienen signos distintos, entonces existe al menos un

c \in (p, q)

tal que

f(c) = 0

.

Continuidad. El numerador

2e^x - 8x - 3

es continuo en

\mathbb{R}

(suma de una exponencial y un polinomio) y el denominador

x^2 + 2

es un polinomio que nunca se anula (

x^2 + 2 \geq 2 > 0

). Por tanto,

f

es continua en todo

\mathbb{R}

, y en particular en

[-1, 0]

.

Cambio de signo.

f(-1) = \frac{2e^{-1} + 8 - 3}{1 + 2} = \frac{2/e + 5}{3} \approx 1{,}91 > 0, \qquad f(0) = \frac{2 - 0 - 3}{0 + 2} = -\frac{1}{2} < 0

Conclusión. Por el teorema de Bolzano existe al menos un

c \in (-1, 0)

con

f(c) = 0

: la gráfica de

f

corta al eje de abscisas al menos una vez.

(Del mismo modo,

f(2) = \frac{2e^2 - 19}{6} \approx -0{,}70 < 0

f(3) = \frac{2e^3 - 27}{11} \approx 1{,}20 > 0

, así que hay otro corte en

(2, 3)

; para lo que se pide basta con uno.)

Consejo

En a), olvidar el valor absoluto hace perder la mitad de las soluciones: el producto mixto puede valer $6$ o $-6$ , y los dos dan volumen 1.

En b), la corrección exige justificar la continuidad en el intervalo (aquí, que $x^2 + 2$ nunca se anula), calcular los dos valores con su signo y nombrar el teorema en la conclusión.