a) (1 punto) Sea el plano \pi \equiv x - 3y + z = 0 y los puntos A = (0, 0, -1) y B = (1, 1, 1). Obtén el plano perpendicular a \pi y que contiene a A y B. b) (1,5 puntos) Calcula el área de la región delimitada por las funciones f(x) = x^2 - 4x + 5 y g(x) = 3 - x.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2022 · Julio

Enunciado

a) (1 punto) Sea el plano

\pi \equiv x - 3y + z = 0

y los puntos

A = (0, 0, -1)

B = (1, 1, 1)

. Obtén el plano perpendicular a

\pi

y que contiene a

A

B

.

b) (1,5 puntos) Calcula el área de la región delimitada por las funciones

f(x) = x^2 - 4x + 5

g(x) = 3 - x

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } 7x + y - 4z - 4 = 0}

\boxed{\text{b) Área} = \frac{1}{6}\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), para un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o su vector normal). Como contiene a

A

B

, uno de sus directores es

\overrightarrow{AB}

. Como es perpendicular a $\pi$ , contiene la dirección normal de

\pi

, así que

\vec n_\pi

es el otro director. El producto vectorial de los dos da el vector normal del plano buscado.

En b), primero buscamos dónde se cortan la parábola y la recta: esos son los límites de integración. Luego vemos cuál va por encima en ese intervalo e integramos «la de arriba menos la de abajo» con la regla de Barrow.

Desarrollo

a) Directores del plano

\sigma

buscado:

\overrightarrow{AB} = (1 - 0,\ 1 - 0,\ 1 - (-1)) = (1, 1, 2), \qquad \vec n_\pi = (1, -3, 1)

Su vector normal es el producto vectorial:

\vec n_\sigma = \overrightarrow{AB} \times \vec n_\pi = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 6)\,\vec i - (1 - 2)\,\vec j + (-3 - 1)\,\vec k = (7, 1, -4)

El plano es

7x + y - 4z + D = 0

, y como pasa por

A = (0, 0, -1)

0 + 0 + 4 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -4 \qquad\Longrightarrow\qquad \sigma \equiv 7x + y - 4z - 4 = 0

Comprobación.

B

7 + 1 - 4 - 4 = 0

, así que

B \in \sigma

. Perpendicularidad:

\vec n_\sigma \cdot \vec n_\pi = 7 - 3 - 4 = 0

, luego las normales son perpendiculares y los planos también.

b) Puntos de corte. Igualamos las dos funciones:

x^2 - 4x + 5 = 3 - x \;\Longrightarrow\; x^2 - 3x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x - 1)(x - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1,\ x = 2

Qué función va por encima. En

x = 1{,}5

f(1{,}5) = 2{,}25 - 6 + 5 = 1{,}25

g(1{,}5) = 1{,}5

. Entre 1 y 2 la recta va por encima de la parábola, y

g(x) - f(x) = 3 - x - (x^2 - 4x + 5) = -x^2 + 3x - 2

Área.

\text{Área} = \int_1^2 \left(-x^2 + 3x - 2\right) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x\right]_1^2

= \left(-\frac{8}{3} + 6 - 4\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2\right) = -\frac{2}{3} - \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{1}{6}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), un plano perpendicular a $\pi$ contiene la dirección $\vec n_\pi$ : es un vector director, no su vector normal. Confundirlo da un plano paralelo a $\pi$ .

En b), si integras $f - g$ en vez de $g - f$ te sale $-1/6$ : un área nunca es negativa. Haz el esbozo o prueba un punto intermedio para saber qué curva va arriba, y da las unidades ( $\text{u}^2$ ).