Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2022 · Julio

Enunciado

Sea el punto

A = (1, 0, 1)

y el plano

\pi \equiv x + y + z = 8

.

a) (1,5 puntos) Calcula la recta perpendicular a

\pi

y que pasa por

A

. ¿En qué punto se cortan la recta y el plano?

b) (1 punto) Obtén el punto de la recta anterior distinto de

A

que dista de

\pi

igual que

A

, es decir, el punto simétrico de

A

con respecto a

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } r \equiv (x, y, z) = (1, 0, 1) + t\,(1, 1, 1);\quad r \cap \pi = M(3, 2, 3)}

\boxed{\text{b) } A' = (5, 4, 5)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una recta perpendicular a un plano lleva la dirección de su vector normal, que se lee en los coeficientes de la ecuación:

\vec n_\pi = (1, 1, 1)

. Con el punto

A

y esa dirección escribimos la recta en paramétricas y, para cortarla con el plano, sustituimos el punto genérico de la recta en la ecuación de

\pi

: sale una ecuación de primer grado en el parámetro.

El punto de corte

M

es la proyección de

A

sobre el plano y, por eso, el punto medio entre

A

y su simétrico

A'

. Despejando,

A' = 2M - A

Desarrollo

a) El vector normal de

\pi

\vec n_\pi = (1, 1, 1)

. La recta

r

perpendicular a

\pi

por

A

tiene ese vector como director:

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}, \qquad \text{o bien} \qquad r \equiv x - 1 = y = z - 1

Punto de corte. Sustituimos el punto genérico de

r

en la ecuación de

\pi

(1 + t) + t + (1 + t) = 8 \;\Longrightarrow\; 3t + 2 = 8 \;\Longrightarrow\; t = 2

M = (1 + 2,\ 2,\ 1 + 2) = (3, 2, 3)

Comprobación:

3 + 2 + 3 = 8

, así que

M \in \pi

.

b) El simétrico

A'

está sobre

r

, al otro lado del plano y a la misma distancia, de modo que

M

es el punto medio del segmento

AA'

M = \frac{A + A'}{2} \;\Longrightarrow\; A' = 2M - A = (6 - 1,\ 4 - 0,\ 6 - 1) = (5, 4, 5)

(Es el punto de

r

con

t = 4

: el doble del parámetro del corte, porque en

A

t = 0

.)

Comprobación de las distancias con

d(P, \pi) = \frac{|x_0 + y_0 + z_0 - 8|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}

d(A, \pi) = \frac{|1 + 0 + 1 - 8|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}, \qquad d(A', \pi) = \frac{|5 + 4 + 5 - 8|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

Las dos distancias coinciden y

A' \neq A

, como se pedía.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más frecuente en el simétrico es quedarse en el punto de corte $M$ y darlo como solución: $M$ es la proyección (el punto medio), no el simétrico.

Comprueba siempre que $M$ cumple la ecuación del plano y que $A$ y $A'$ están a la misma distancia: son dos líneas y te salvan de un error de signo.