Sistemas de ecuaciones

a) Las matrices de coeficientes y ampliada son$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & a+1 \\ a & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 2\cdot\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 3\cdot\begin{vmatrix} a & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1) - 2(2a - 1) + 3a = 1 - a$$$$|A| = 0 \iff a = 1$$Caso $a \neq 1$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas. Por Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado (solución única).

Caso $a = 1$. Las matrices quedan$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$ (el $3\times 3$ es nulo).

Para $A^*$ orlamos ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$(tiene dos columnas iguales). Así, $\operatorname{rg}(A^*) = 2$. De hecho, la tercera fila de $A^*$ es la semisuma de las dos primeras: $\frac{(1,2,3,2) + (1,0,1,0)}{2} = (1,1,2,1)$, de modo que la tercera ecuación sobra.

Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es compatible indeterminado, con $3 - 2 = 1$ grado de libertad.

b) Para $a = 1$ el sistema es compatible indeterminado, así que se puede resolver: tiene infinitas soluciones. Nos quedamos con dos ecuaciones independientes, la segunda y la tercera:$$\left\{\begin{array}{l} x + z = 0 \\ x + y + 2z = 1 \end{array}\right.$$Tomamos $z = \lambda$ como parámetro. De la primera, $x = -\lambda$; llevándolo a la segunda,$$-\lambda + y + 2\lambda = 1 \;\Longrightarrow\; y = 1 - \lambda$$Comprobación en la primera ecuación (la que hemos quitado), con $a + 1 = 2$:$$x + 2y + 3z = -\lambda + 2(1 - \lambda) + 3\lambda = 2$$Se cumple para cualquier $\lambda$.