Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

El área del trapecio es $A = \dfrac{3x}{2}\cdot h$ y, utilizando que el área mide $30\ \text{m}^2$, obtenemos $\boxed{h = \dfrac{20}{x}}$.

Observamos que podemos descomponer el trapecio en un rectángulo de base $x$ y altura $h$ y un triángulo rectángulo de hipotenusa $D$ y catetos $x$ y $h$. Ahora solo hay que aplicar el teorema de Pitágoras a este triángulo para obtener $\boxed{D(x) = \sqrt{\dfrac{400}{x^2} + x^2}}$.

b)

Para minimizar la función $D(x)$, derivamos y obtenemos$$D'(x) = \frac{\dfrac{-800}{x^3} + 2x}{2\cdot\sqrt{\dfrac{400}{x^2} + x^2}} = \frac{\dfrac{-400}{x^3} + x}{\sqrt{\dfrac{400}{x^2} + x^2}}$$Resolvemos ahora la ecuación $D'(x) = 0$ o, equivalentemente, $\dfrac{-400}{x^3} + x = 0$, y obtenemos $x^4 = 400$ y, teniendo en cuenta que solo podemos tomar las soluciones positivas, el único candidato a extremo es $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Ahora podemos observar que en el intervalo $(0, 2\sqrt{5})$ tenemos $D'(x) < 0$ y, por tanto, $D$ es decreciente, y que en el intervalo $(2\sqrt{5}, +\infty)$ tenemos $D'(x) > 0$ y, por tanto, $D$ es creciente; y, por tanto, en $x = 2\sqrt{5}$ hay un mínimo.

Así, las dimensiones que hacen mínimo el lado oblicuo son$$\boxed{x = h = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\ \text{m} \ \text{ y } \ D = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\ \text{m}}.$$Observación: Para el cálculo del punto singular, también se puede proceder a derivar la función $D^2(x) = \dfrac{400}{x^2} + x^2$, siempre que se argumente que tendrá localizados los extremos en los mismos valores de las abscisas.

Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por justificar la relación entre la altura y la base superior del trapecio.
• 0,25 p. por el planteamiento para encontrar la segunda relación.
• 0,25 p. por aplicar correctamente el teorema de Pitágoras.
• 0,25 p. por justificar la relación entre el lado $D$ y la base superior del trapecio.

b)

• 0,5 p. por la derivada de $D(x)$.
• 0,25 p. por encontrar el punto crítico.
• 0,25 p. por justificar que el punto crítico corresponde a un mínimo.
• 0,5 p. por dar los valores de $h$, $x$ y $D$.