Matrices

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Calculamos la expresión de $X^2$ en función de los parámetros y la igualamos a la matriz dada:$$X^2 = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & a + b & 1 \\ 0 & b^2 & b + c \\ 0 & 0 & c^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$De esta igualdad de matrices surgen las ecuaciones siguientes:$$a^2 = 1 \to a = \pm 1$$$$b^2 = 1 \to b = \pm 1$$$$c^2 = 1 \to c = \pm 1$$$$a + b = 0 \to a = -b$$$$b + c = 0 \to b = -c$$Entonces, las soluciones para $a$, $b$ y $c$ son:

$a = 1,\ b = -1,\ c = 1$ y $a = -1,\ b = 1,\ c = -1$

Es decir, hay dos posibles matrices $X$:$$\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} \text{ y } \boxed{\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$b)

Solo hay que imponer que$$\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$Multiplicando, obtenemos la siguiente igualdad matricial:$$\begin{pmatrix} \frac{a}{2} & 1 - \frac{a}{2} & 1 - \frac{a}{2} \\ 0 & b & b - 1 \\ 0 & 0 & -c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$E igualando término a término los elementos de la diagonal obtenemos

$\dfrac{a}{2} = 1 \to a = 2$; $\ b = 1$; $\ -c = 1 \to c = -1$.

Y también se cumple que $1 - \dfrac{a}{2} = 0$ para el valor $a = 2$, y $b - 1 = 0$ para el valor $b = 1$.

Así, la solución es $\boxed{a = 2,\ b = 1 \text{ y } c = -1}$.

Observación: De forma alternativa, también se puede calcular la matriz inversa $X^{-1}$ e igualarla a la matriz que nos da el enunciado.$$X^{-1} = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{abc}\begin{pmatrix} bc & 0 & 0 \\ -c & ac & 0 \\ 1 & -a & ab \end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$Igualando los elementos de la diagonal de las dos matrices, tenemos que:

$\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{2} \to a = 2$; $\ \dfrac{1}{b} = 1 \to b = 1$; $\ \dfrac{1}{c} = -1 \to c = -1$

Y también son ciertas las igualdades del resto de términos de fuera de la diagonal.

Así, la solución es $\boxed{a = 2,\ b = 1 \text{ y } c = -1}$.

Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por calcular $X^2$.
• 0,25 p. por plantear el sistema de ecuaciones que hay que resolver.
• 1 p. por dar las dos soluciones de los tres parámetros (0,5 por cada solución).

b)

• 0,25 p. por plantear el producto igual a la identidad.
• 0,25 p. por el producto matricial.
• 0,25 p. por plantear el sistema de ecuaciones que hay que resolver.
• 0,25 p. por encontrar los valores de los tres parámetros.