Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

De la función $g$ tenemos la información siguiente: $g(0) = 5$, $g'(1) = 0$, $g''(x) = 2x + 1$.

Por tanto, sabemos que $g'(x) = x^2 + x + m$, donde $m$ es una constante real. Como $g'(1) = 0$, deducimos que $m = -2$. Entonces $g(x) = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x + n$, donde $n$ es una constante real. Como $g(0) = 5$, deducimos que $n = 5$. Así tenemos que$$\boxed{g(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + 5}$$Observación: También es totalmente correcto el planteamiento inicial de $g(x) = a + bx + cx^2 + dx^3$ e, imponiendo las condiciones, obtener los valores respectivos de $a$, $b$, $c$ y $d$.

b)

La función $f$ es polinómica y, por tanto, continua y derivable en todos los números reales. Comprobamos fácilmente que $\boxed{f(2) = 0}$ y, por tanto, $x = 2$ es una raíz de la función.

Para comprobar si es estrictamente creciente en el intervalo indicado, calculamos la función derivada $f'(x) = -3x^2 + 12x$, que se anula para $x = 0$ y $x = 4$.

Como se trata de una parábola con coeficiente principal negativo, deducimos que la derivada es estrictamente positiva en el intervalo $(0, 4)$ y, por tanto, que la función $f$ es estrictamente creciente en este intervalo. Esto implica que la función $f$ no tiene más raíces en este intervalo y, por tanto, el área $A$ pedida se puede calcular con la expresión siguiente:$$\boxed{A =} \left|\int_0^2 (-x^3 + 6x^2 - 16)\,dx\right| + \left|\int_2^4 (-x^3 + 6x^2 - 16)\,dx\right| =$$$$= \left|\left(\frac{-x^4}{4} + 2x^3 - 16x\right)\Big|_0^2\right| + \left|\left(\frac{-x^4}{4} + 2x^3 - 16x\right)\Big|_2^4\right| = 20 + 20 = \boxed{40\ \text{u}^2}.$$Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por el planteamiento.
• 0,25 p. por encontrar la derivada primera.
• 0,25 p. por determinar la constante de integración $m$.
• 0,25 p. por determinar la constante de integración $n$.

b)

• 0,25 p. por comprobar que la función tiene una raíz en $x = 2$.
• 0,25 p. por calcular la derivada primera.
• 0,25 p. por justificar el crecimiento estricto de la función en el intervalo dado.
• 0,25 p. por escribir correctamente las dos integrales definidas.
• 0,25 p. por calcular la primitiva.
• 0,25 p. por la regla de Barrow y el resultado del área.