Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Comprobamos si la recta $r$ se encuentra contenida en el plano sustituyendo el punto $P(2, -1, 3) \in r$ en la ecuación del plano $\pi$: $2 - 2\cdot(-1) + 4\cdot 3 - 4 = 12 \neq 0$; entonces no está contenida en el plano.

Comprobamos si la recta es paralela al plano. El producto escalar del vector normal al plano y el vector director de la recta debería ser nulo, ya que serían perpendiculares: $(1, 3, 1)\cdot(1, -2, 4) = 1 - 6 + 4 \neq 0$; entonces no son paralelos.

Así pues, $\boxed{\text{la recta } r \text{ es secante al plano } \pi}$.

El punto de corte entre la recta y el plano se puede calcular sustituyendo $x$, $y$ y $z$ de la recta en la ecuación del plano:$$(2 + \lambda) - 2(-1 + 3\lambda) + 4(3 + \lambda) - 4 = 0$$$$2 + \lambda + 2 - 6\lambda + 12 + 4\lambda - 4 = 0 \to -\lambda + 12 = 0 \to \lambda = 12$$El punto de corte es: $(2 + 12,\ -1 + 3\cdot 12,\ 3 + 12) = \boxed{(14, 35, 15)}$.

Observación: También se puede plantear directamente el sistema formado por la recta y el plano para encontrar la intersección, estudiarlo y resolverlo.

b)

La ecuación de la recta $s$ perpendicular al plano $\pi$ y que corta a la recta $r$ en el punto $P$ tiene como vector director el vector normal al plano: $\vec v = (1, -2, 4)$.

El punto $P$ ha de satisfacer que:$$2 + \lambda = 5\cdot(-1 + 3\lambda) \to 2 + \lambda = -5 + 15\lambda \to 7 = 14\lambda \to \lambda = \frac{1}{2}$$Entonces el punto $P$ es $(2 + 1/2,\ -1 + 3/2,\ 3 + 1/2) = (5/2,\ 1/2,\ 7/2)$ y la recta es:$$\boxed{(x, y, z) = (5/2,\ 1/2,\ 7/2) + \mu(1, -2, 4)}$$Se acepta la ecuación de la recta en cualquier formato que también sea correcto.

Pautas de corrección:

a)

• 0,75 p. por la posición relativa de la recta y el plano.
• 0,5 p. por calcular el punto de corte de la recta y el plano.

b)

• 0,25 p. por identificar el vector director de la recta $s$.
• 0,25 p. por formular el cálculo del punto.
• 0,25 p. por encontrar el punto $P$.
• 0,5 p. por la ecuación de la recta.