Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada, $A$ y $A'$, son las siguientes ($A$ es la parte a la izquierda de la barra):$$\underbrace{\left(\begin{array}{ccc|c} a & 2 & 3 & 2 \\ 2 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & 4 & 1 \end{array}\right)}_{A'}$$En primer lugar, se calcula $\det(A)$:$$\begin{vmatrix} a & 2 & 3 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 4a^2 + 6 + 2 - 3a - a - 16 = 4a^2 - 4a - 8$$que se anula para los valores $a = -1$ y $a = 2$.

A continuación se estudian los tres casos: $a = -1$, $a = 2$ y $a \neq -1, 2$.

CASO $a = -1$

Se obtiene el sistema:$$\begin{cases} -x + 2y + 3z = 2 \\ 2x - y + z = -1 \\ x + y + 4z = 1 \end{cases}$$Donde se observa que, sumando la primera y la segunda ecuación, se obtiene la tercera; por tanto, el $\operatorname{rango}(A)$ y el $\operatorname{rango}(A')$ no serán máximos:$$\underbrace{\left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \end{array}\right)}_{A'}$$Como sabemos que $\det(A) = 0$ y tenemos que el menor $\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \neq 0$, entonces el $\operatorname{rango}(A) = 2$.

Como de la suma de la primera y la segunda ecuación se obtiene la tercera, todos los menores de orden 3 serán nulos, y por el menor de orden dos no nulo anterior, $\operatorname{rango}(A') = 2$.

También se puede argumentar que el $\operatorname{rango}(A') < 3$ a partir de encontrar que los determinantes del orden correspondiente son nulos.

Por tanto, se tiene que $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A') = 2 < 3 =$ número de incógnitas.

Por tanto, es un sistema compatible indeterminado (SCI) con $3 - 2 = 1$ grado de libertad.

CASO $a = 2$

En este caso, se obtiene el sistema:$$\begin{cases} 2x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 2y + z = 2 \\ x + y + 4z = 1 \end{cases}$$Y en notación matricial se obtiene$$\underbrace{\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \end{array}\right)}_{A'}$$Donde se observa que la primera y la segunda columna, de los coeficientes de las $x$ y las $y$, y el vector de los términos independientes son iguales. Esto ya nos dice que el rango de la matriz ampliada será el mismo que el de la matriz de coeficientes.

Para $a = 2$ sabemos que el $\det(A) = 0$, y como $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$, el $\operatorname{rango}(A) = 2$.

Respecto a la matriz ampliada, se observa que no se podrá encontrar ningún determinante de orden 3 no nulo, ya que el vector de términos independientes coincide con la primera y la segunda columna de la matriz $A$. Y, por tanto, se tiene que $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A') = 2 < 3 =$ número de incógnitas. Por tanto, es un sistema compatible indeterminado (SCI) con $3 - 2 = 1$ grado de libertad.

CASO $a \neq -1$ y $a \neq 2$

Sabemos que $\det(A) \neq 0$; por tanto, $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A') = 3 =$ número de incógnitas, y es un sistema compatible determinado (SCD).

b)

Para $a = 2$, hay que resolver el sistema, que ya sabemos que será SCI:$$\begin{cases} 2x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 2y + z = 2 \\ x + y + 4z = 1 \end{cases}$$Hacemos la diferencia de las dos primeras ecuaciones y obtenemos que $z = 0$.

Sustituimos $z = 0$ y nos queda el sistema:$$\begin{cases} 2x + 2y = 2 \\ 2x + 2y = 2 \\ x + y = 1 \end{cases}$$Donde se observa que las tres ecuaciones son equivalentes y, por tanto, se confirma que es un sistema compatible indeterminado.

Si tomamos $y = \lambda$, obtenemos que las soluciones del sistema son de la forma: $\boxed{(1 - \lambda,\ \lambda,\ 0)}$.

Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por la presentación matricial del sistema.
• 0,5 p. por llegar a los valores críticos para la discusión.
• 0,75 p. por la discusión de los tres casos (0,25 puntos por cada caso).

b)

• 0,25 p. por observar que es un sistema compatible indeterminado.
• 0,75 p. por la solución.