Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Como $f'(x) = 3x^2 - 12x$, integrando tenemos que $f(x) = x^3 - 6x^2 + C$, donde $C$ es una constante real.

Ahora bien, sabemos que $f(x)$ corta el eje de abscisas en $x = 1$; por tanto, $f(1) = 0$. Sustituimos:$$f(1) = 1^3 - 6\cdot 1^2 + C = 0 \;\to\; C = 5$$Y obtenemos $\boxed{f(x) = x^3 - 6x^2 + 5}$.

b)

En el punto de inflexión se anulará la derivada segunda:$$f''(x) = 6x - 12 = 0 \;\to\; x = 2$$Para estudiar la concavidad de $f(x)$, estudiaremos el signo de la derivada segunda:

A la izquierda del punto $x = 2$ la derivada segunda es negativa y a la derecha del punto $x = 2$ la derivada segunda es positiva.

Por tanto:

• En el punto $(2, f(2))$ hay un punto de inflexión.
• La función tiene concavidad negativa o es cóncava hacia abajo en el intervalo $(-\infty, 2)$.
• La función tiene concavidad positiva o es cóncava hacia arriba en el intervalo $(2, +\infty)$.

c)

La función $f''(x) = 6x - 12$ corta el eje de abscisas en $x = 2$ y el enunciado nos dice que $a > 2$, hechos que habrá que tener en cuenta en el cálculo de las integrales definidas:

$$15 = \int_0^2 (12 - 6x)\,dx + \int_2^a (6x - 12)\,dx$$$$15 = \left[12x - 3x^2\right]_0^2 + \left[3x^2 - 12x\right]_2^a$$$$15 = 24 - 12 + 3a^2 - 12a - 12 + 24$$$$3a^2 - 12a + 9 = 0 \;\to\; a^2 - 4a + 3 = 0$$Resolvemos la ecuación de segundo grado:$$a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 3}}{2} = 2 \pm 1 \;\to\; \begin{cases} a = 3 \\ a = 1 \end{cases}$$Como $a > 2$, solo hay una solución: $\boxed{a = 3}$.

Observación: el planteamiento del área también se puede hacer a partir de la suma de las áreas de los dos triángulos de la figura, sin mencionar ningún cálculo integral.

Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por el planteamiento que indica cómo obtener la función.
• 0,25 p. por el cálculo de la integral.
• 0,25 p. por el valor de la constante de integración.

b)

• 0,25 p. por calcular la derivada segunda.
• 0,25 p. por el punto de inflexión.
• 0,25 p. por el estudio de la concavidad.

c)

• 0,25 p. por el planteamiento.
• 0,25 p. por el cálculo de las primitivas.
• 0,25 p. por aplicar correctamente la regla de Barrow.
• 0,25 p. por encontrar el valor del parámetro.

(En el caso de que este apartado se haya hecho sin cálculo integral, el punto se repartirá entre los pasos que conduzcan a la solución final.)