La imagen siguiente muestra dos paredes perpendiculares de una sala representadas en unos ejes de coordenadas, de manera que una pared está en el plano y=0 y la otra en el plano x=0.Ejes de coordenadas x, y, z sobre un suelo gris, con dos paredes verticales perpendiculares, una en el plano y = 0 y otra en el plano x = 0; el punto A está en la primera pared, el punto B en la segunda y el punto C en el eje vertical OZ, unido por un cable a A y a BEn el punto A=(2,0,2) queremos colgar un altavoz que debe estar conectado a un equipo de sonido, el cual está situado en la otra pared, en el punto B=(0,2,1). La conexión entre A y B la haremos mediante un cable que pase por el punto C=(0,0,h), situado en la recta vertical de intersección de las dos paredes. Como la calidad del sonido depende, entre otros factores, de la longitud del cable que une los dos aparatos, queremos hacer una instalación con el mínimo de cable posible. a) (0,75 puntos) Compruebe que la longitud total del cable necesario, en función de la altura h por donde tiene que pasar el cable en el eje vertical OZ, viene dada por la expresión L(h)=h2−4h+8+h2−2h+5. b) (1,75 puntos) Calcule las coordenadas del punto C por donde tiene que pasar el cable para que la longitud del cable sea mínima. Calcule esta longitud mínima del cable.
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Resultado
L(h)=h2−4h+8+h2−2h+5C=(0,0,23),Lmin=17u
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Solución oficial
Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a) Consideramos los tres puntos de la imagen: A=(2,0,2),B=(0,2,1) y C=(0,0,h).d(A,C)=22+(2−h)2=4+4−4h+h2=h2−4h+8d(B,C)=22+(1−h)2=4+1−2h+h2=h2−2h+5Por tanto, efectivamente, L(h)=h2−4h+8+h2−2h+5. b) Para hallar el valor mínimo, derivamos la función L(h) y hallamos sus puntos singulares:L′(h)=2h2−4h+82h−4+2h2−2h+52h−2=h2−4h+8h−2+h2−2h+5h−1.Cuando hacemos L′(h)=0:h2−4h+8h−2+h2−2h+5h−1=0h2−4h+8h−2=−h2−2h+5h−1⇒(h−2)h2−2h+5=−(h−1)h2−4h+8Si elevamos los dos términos de la igualdad al cuadrado, obtenemos:(h−2)2(h2−2h+5)=(h−1)2(h2−4h+8)De donde:(h2−4h+4)(h2−2h+5)=(h2−2h+1)(h2−4h+8)h4−2h3+5h2−4h3+8h2−20h+4h2−8h+20==h4−4h3+8h2−2h3+8h2−16h+h2−4h+8Operando, obtenemos 8h=12 y, por tanto, h=812=23. Para comprobar que este valor corresponde al mínimo, basta con observar el signo de la derivada antes y después de este valor dentro del dominio del contexto de la función. Por ejemplo, podemos verificar que la derivada es negativa antes de este valor, por ejemplo para x=1,(L′(1)=−51<0), y positiva después de este valor, por ejemplo, para x=2,(L′(2)=51>0). Por tanto, la longitud mínima del cable se consigue cuando C=(0,0,23). Y la longitud mínima será:L(23)=(23)2−4(23)+8+(23)2−2(23)+5=49−6+8+49−3+5=49+2+49+2=2417=17unidades de longitud.Pautas de corrección a)
0,25 p. por la expresión de una de las distancias.
0,25 p. por la expresión de la otra distancia.
0,25 p. por la expresión final L(h).
b)
0,5 p. por la derivada de la función L(h).
0,5 p. por el cálculo del valor singular y el punto C.
0,25 p. por la clasificación del valor singular como mínimo.
