Matrices

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La matriz $A$ será invertible si y solo si su determinante es diferente de cero.

Buscamos el determinante aplicando la regla de Sarrus, para saber para qué valores del parámetro $a$ este determinante no se anula:$$\begin{aligned} |A| &= \begin{vmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{vmatrix} \\ &= a(a+1)(-a-3) + a(a-1)(2a+1) - 0 - 0 + 2a(a+3) \\ &= a(-a^2 - 4a - 3 + 2a^2 + a - 2a - 1 + 2a + 6) = a(a^2 - 3a + 2). \end{aligned}$$Cuando resolvemos $|A| = 0$, obtenemos $a = 0$ y $a = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \dfrac{3 \pm 1}{2} \Rightarrow \begin{cases} a = 0 \\ a = 1 \\ a = 2 \end{cases}$.

La matriz $A$ será invertible cuando $a \neq 0, 1, 2$.

b) Cuando $a = 3$, tenemos $A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -6 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$.

Miramos si la matriz $A$ es invertible. En caso afirmativo, calculamos la inversa.

Observación: por el apartado anterior, como $a = 3$, ya sabríamos que la matriz tiene inversa.

$|A| = -72 + 42 + 36 = 6 \neq 0 \Rightarrow$ la matriz $A$ es invertible.$$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 1 \\ \dfrac{13}{3} & -3 & -1 \\ -\dfrac{14}{3} & \dfrac{7}{2} & 1 \end{pmatrix}$$Planteamiento de la resolución de la ecuación:$$A \cdot X = B - 3I \;\to\; A^{-1}\cdot A \cdot X = A^{-1}\cdot(B - 3I) \;\to\; X = A^{-1}\cdot(B - 3I)$$$$B - 3I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$Finalmente, obtenemos $X$:$$X = A^{-1}\cdot(B - 3I) \;\to\; X = A^{-1}\cdot I \;\to\; X = A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 1 \\ \dfrac{13}{3} & -3 & -1 \\ -\dfrac{14}{3} & \dfrac{7}{2} & 1 \end{pmatrix}.$$Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por la condición de invertibilidad a partir del determinante no nulo.
• 0,5 p. por el cálculo del determinante.
• 0,25 p. por los valores que anulan el determinante.
• 0,25 p. por la respuesta al problema.

b)

• 0,25 p. por concluir que la matriz $A$ es invertible.
• 0,5 p. por el cálculo de la matriz inversa.
• 0,25 p. por las operaciones matriciales.
• 0,25 p. por el resultado final.