Límites y continuidad

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Para que $f(x)$ sea continua, como las dos funciones que definen $f(x)$, la logarítmica y la lineal, son continuas en el dominio donde están definidas respectivamente, solo tenemos que imponer la continuidad en el valor $x = e$:$$f(e) = ae + b = \lim_{x \to e} f(x) = \begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to e^-} \ln(x) = \ln(e) = 1 \\ \displaystyle\lim_{x \to e^+} (ax + b) = ae + b \end{cases} \Rightarrow ae + b = 1.$$Para que sea derivable, como las dos funciones que definen la función $f(x)$, la logarítmica y la lineal, son derivables en el dominio donde están definidas respectivamente, tenemos:$$f'(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x \in (0, e) \\ a & \text{si } x \in (e, 4) \end{cases}.$$Por tanto, solo tenemos que imponer la derivabilidad en $x = e$.$$f'(e) = \lim_{x \to e} f'(x) = \begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to e^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{e} \\ \displaystyle\lim_{x \to e^+} a = a \end{cases} \Rightarrow a = \frac{1}{e}.$$Y como $ae + b = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{e}\cdot e + b = 1 \Rightarrow b = 0$.

b) Buscamos primero la integral indefinida $\displaystyle\int \frac{x^3}{9x^4 + 1}\,dx$.

Multiplicando y dividiendo adecuadamente, podemos tener en el numerador la función derivada de la función que hay en el denominador:$$\int \frac{x^3}{9x^4 + 1}\,dx = \frac{1}{36}\int \frac{36x^3}{9x^4 + 1}\,dx = \frac{1}{36}\ln(9x^4 + 1) + k.$$Así que la función $g(x)$ será de la forma $g(x) = \dfrac{1}{36}\ln(9x^4 + 1) + k$.

Finalmente, para hallar $k$, aplicamos que la función que buscamos tiene que pasar por el punto $(0, -1)$.$$g(0) = \frac{1}{36}\ln(9\cdot 0^4 + 1) + k = \frac{1}{36}\ln(1) + k = 0 + k = k$$Por tanto, tenemos que, si $g(0) = -1$, entonces $k = -1$.

Así, $g(x) = \dfrac{1}{36}\ln(9x^4 + 1) - 1$.

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el argumento de continuidad a partir de las funciones que intervienen.
• 0,25 p. por la ecuación de continuidad.
• 0,25 p. por el argumento de derivabilidad a partir de las funciones que intervienen.
• 0,25 p. por la ecuación de derivabilidad.
• 0,25 p. por los valores de $a$ y de $b$.

b)

• 0,25 p. por el planteamiento del cálculo de la primitiva.
• 0,5 p. por el cálculo de la integral indefinida.
• 0,5 p. por el cálculo de la constante de integración.