Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Para estudiar el rango de la matriz $A$, calculamos primero el determinante de la matriz para ver cuándo tiene rango máximo:$$\begin{vmatrix} 1 & a & 3 \\ 2a & 5 & 3a \\ 7 & 4a & 9 \end{vmatrix} = 45 + 24a^2 + 21a^2 - 105 - 12a^2 - 18a^2 = 15a^2 - 60$$$$15a^2 - 60 = 0 \iff a = \pm 2$$Así pues, se nos abren los casos siguientes:

CASO I. Si $a \neq \pm 2$, $\text{rang}\,A = 3$, dado que el determinante de orden 3 es no nulo.

CASO II. Si $a = 2$, $\text{rang}\,A = 2$, dado que el determinante de orden 3 es nulo y hay un menor de orden 2 no nulo $\left(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 8 = -3 \neq 0\right)$.

CASO III. Si $a = -2$, $\text{rang}\,A = 2$, dado que el determinante de orden 3 es nulo y hay un menor de orden 2 no nulo $\left(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 8 = -3 \neq 0\right)$.

b)$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$Cuando multiplicamos las matrices, vemos que se trata de un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo. Por tanto, siempre tiene como mínimo la solución $(0, 0, 0)$.

Tenemos $\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 4x + 5y + 6z = 0 \\ 7x + 8y + 9z = 0 \end{cases}$ con la matriz ampliada $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}\right)$.

Observamos que la matriz de coeficientes es la matriz $A$ del apartado anterior para el valor $a = 2$. Por tanto, el rango de la matriz de coeficientes es 2.

De todos modos, notemos que $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 45 + 96 + 84 - 105 - 48 - 72 = 0$ y $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 8 = -3 \neq 0$. Por tanto, $\text{rang}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 2$.

El rango de la matriz del sistema y también el rango de la matriz ampliada son 2 (porque la columna $(0, 0, 0)$ de los términos independientes no puede aumentar el $\text{rang}(A)$), y el número de incógnitas es 3. En virtud del teorema de Rouché-Frobenius, se trata de un sistema compatible indeterminado con $3 - 2 = 1$ grado de libertad.

El menor de orden 2 no nulo indica las ecuaciones y las incógnitas con las que nos tenemos que quedar. Por tanto:$$\begin{cases} x + 2y = -3z \\ 4x + 5y = -6z \end{cases}$$Para hallar $x$ e $y$ en función de $z$ podemos aplicar el método de Cramer:$$x = \frac{\begin{vmatrix} -3z & 2 \\ -6z & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}} = \frac{-15z + 12z}{-3} = z$$$$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -3z \\ 4 & -6z \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}} = \frac{-6z + 12z}{-3} = -2z$$Por tanto, las matrices solución pedidas son las siguientes:$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z \\ -2z \\ z \end{pmatrix}\qquad z \text{ parámetro.}$$Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el cálculo del determinante.
• 0,25 p. por el cálculo del valor singular para discutir.
• 0,75 p. por la discusión (0,25 puntos por cada caso).

b)

• 0,25 p. por el planteamiento de la ecuación como sistema de ecuaciones lineales.
• 0,25 p. por razonar que es compatible indeterminado con un grado de libertad.
• 0,25 p. por hallar la $x$ en función de $z$ (o equivalente).
• 0,25 p. por hallar la $y$ en función de $z$ (o equivalente).
• 0,25 p. por la expresión de la matriz solución $X$.