Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La función $f(x)$ es un cociente de polinomios. Por tanto, su dominio serán todos los números reales excepto aquellos puntos que anulen el polinomio denominador.

Si resolvemos $x^2 + x - 2 = 0$, obtenemos $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$ y, por tanto, el denominador se anula para los valores $x = -2$ y $x = 1$.

Así pues, tendremos: $\text{Dom}(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

Asíntotas verticales: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0$

$x = -2 \;\to\; \displaystyle\lim_{x \to -2} f(x) = \frac{9}{0} = \infty \;\Rightarrow\; f(x)$ tiene asíntota vertical en $x = -2$

$x = 1 \;\to\; \displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{9}{0} = \infty \;\Rightarrow\; f(x)$ tiene asíntota vertical en $x = 1$

Asíntotas horizontales:

$\displaystyle\lim_{x \to \mp\infty} f(x) = \frac{9}{+\infty} = 0 \;\Rightarrow\; f(x)$ tiene asíntota horizontal en $x = 0$

Asíntotas oblicuas: como la función $f(x)$ tiene asíntota horizontal cuando $x \to \mp\infty$, entonces $f(x)$ no tiene asíntotas oblicuas.

Máximos y mínimos relativos: son los puntos que anulan la función derivada.$$f'(x) = \frac{-9(2x + 1)}{(x^2 + x - 2)^2} \qquad f'(x) = 0? \;\Rightarrow\; -9(2x + 1) = 0 \;\Rightarrow\; 2x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = -\frac{1}{2}$$Mediante el signo de la derivada primera, podemos comprobar que en $x = -\dfrac{1}{2}$ hay un máximo relativo, ya que antes la derivada es positiva ($f'(-1) > 0$) y después es negativa ($f'(0) < 0$).

En cuanto a la monotonía de la función, dado que la función tiene discontinuidades asintóticas, buscamos qué signo tiene la derivada en los distintos intervalos de continuidad:Por tanto:

$f(x)$ es creciente en $(-\infty, -2) \cup \left(-2, -\dfrac{1}{2}\right)$.

$f(x)$ es decreciente en $\left(-\dfrac{1}{2}, 1\right) \cup (1, +\infty)$.

b) Para calcular la ecuación general de la recta tangente a la función, usamos la fórmula $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ para el caso $a = 4$.

$f(4) = \dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2}$, la recta pasa por el punto $\left(4, \dfrac{1}{2}\right)$

$f'(4) = \dfrac{-81}{324} = -\dfrac{9}{36} = -\dfrac{1}{4}$

La recta tangente será $y = -\dfrac{1}{4}(x - 4) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x + 1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{3}{2}$.

Para la representación de la función y de la recta tangente, utilizamos los resultados del apartado anterior y se puede complementar con una pequeña tabla de valores:

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el dominio de la función.
• 0,25 p. por las asíntotas verticales.
• 0,25 p. por las asíntotas horizontales y oblicuas.
• 0,25 p. por la determinación y la clasificación de la abscisa del máximo relativo.
• 0,25 p. por los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b)

• 0,25 p. por la formulación de la recta tangente.
• 0,25 p. por el cálculo de la recta tangente.
• 0,5 p. por la representación de la gráfica de la función.
• 0,25 p. por la representación de la recta tangente.