Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) El mástil estará contenido en la recta que pasa por el punto $P = (30, 1, 0)$ y que tiene por dirección el vector normal al plano del suelo $\vec n = (1, 0, -1)$.

Por tanto, la ecuación paramétrica es:$$r: \begin{cases} x = 30 + k \\ y = 1 \\ z = -k \end{cases},\quad k \in \mathbb{R}$$b) Necesitamos el punto $Q = r \cap \pi$, intersección de la recta anterior con el plano del suelo. Si sustituimos la ecuación paramétrica de la recta en la ecuación del plano, tenemos:$$30 + k - (-k) = 6 \;\Longrightarrow\; 30 + 2k = 6 \;\Longrightarrow\; k = -12.$$El punto de la base será: $Q = (18, 1, 12)$.

Y la longitud del mástil es:$$d(P, Q) = \left\|\overrightarrow{PQ}\right\| = \|Q - P\| = \|(-12, 0, 12)\| = 12\cdot\|(-1, 0, 1)\| = 12\cdot\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = 12\sqrt{2}\ \text{unidades de longitud}$$Observación: esta distancia también se puede hallar calculando la distancia del punto $P$ al plano $\pi$.

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por la identificación del vector normal del plano.
• 0,25 p. por los elementos que definen la recta que contiene el mástil.
• 0,5 p. por la ecuación paramétrica.

b)

• 0,5 p. por el planteamiento de hallar la intersección de la recta que contiene el mástil con el plano del suelo.
• 0,5 p. por el cálculo del punto.
• 0,5 p. por el cálculo de la norma del vector (o equivalente).