Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Junio
Comunitat Valenciana · 2021 · Junio
Enunciado
Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular R, uno de cuyos vértices es el punto (x,y) (véase la figura).Cuadrado de 80 cm de lado al que le falta la esquina inferior izquierda: la rotura es un segmento que va del punto a 40 cm de altura sobre el lado izquierdo al punto a 32 cm del vértice sobre el lado inferior. Sobre ese segmento está el punto (x, y), vértice inferior izquierdo del rectángulo R, que llega hasta la esquina superior derecha del cuadrado.a) Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de x, cuando 0≤x≤32. (4 puntos) b) Calculad las dimensiones que tendrá R para que su área sea máxima. (4 puntos) c) Calculad el valor de dicha área máxima. (2 puntos)
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Resultado
a)A(x)=(80−x)(40+45x)=3200+60x−45x2 cm², con 0≤x≤32 (pues y=45(32−x)). b) Se alcanza en x=24,y=10: el rectángulo mide 56 cm×70 cm. c) Área máxima: 3920 cm².
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia
Ponemos el origen en la esquina rota (abajo a la izquierda) del cuadrado original, con x horizontal e y vertical. El rectángulo R va del punto (x,y) a la esquina opuesta (80,80), así que sus lados miden 80−x y 80−y. El punto (x,y) no es libre: está sobre la línea de rotura, y eso liga y con x (por semejanza de triángulos o con la ecuación de la recta). Con esa relación el área queda en función de x solo, en el intervalo cerrado [0,32], y el máximo absoluto se busca entre el punto donde se anula la derivada y los extremos del intervalo.
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Desarrollo
a)Relación entre x e y. La línea de rotura une (0,40) con (32,0). El triángulo pequeño que queda bajo el punto (x,y), de catetos 32−x e y, es semejante al trozo desprendido, de catetos 32 y 40:y32−x=4032⟹y=3240(32−x)=45(32−x)=40−45x(Es la recta 32x+40y=1.) Lados del rectángulo.base=80−x,altura=80−y=80−40+45x=40+45xÁrea en función de x.A(x)=(80−x)(40+45x)=3200+60x−45x2,0≤x≤32b)Derivada y punto crítico.A′(x)=60−25x=0⟹x=24que está dentro de [0,32]. Además A′′(x)=−25<0: es un máximo relativo. Máximo absoluto en [0,32]. Comparamos con los extremos del intervalo:A(0)=80⋅40=3200,A(24)=56⋅70=3920,A(32)=48⋅80=3840El máximo absoluto está en x=24. Entonces y=40−45⋅24=10, y las dimensiones de R son80−24=56cmy80−10=70cmc)Área máxima.Amaˊx=A(24)=56⋅70=3920cm2
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Consejo
Como el dominio es un intervalo cerrado, [0,32], el máximo absoluto hay que justificarlo comparando el valor en el punto crítico con los valores en los extremos (x=0 y x=32): así lo hace la solución oficial. El paso clave es la relación entre x e y; dibuja el triángulo pequeño y pon sus catetos, 32−x e y, antes de escribir la proporción. Y en b) se piden las dimensiones (56 y 70 cm), no el valor de x.
Paso 1 de 3
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