Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Junio

También trata: Rectas y planos

Enunciado

Dados el punto

P(1, 2, 3)

y el plano

\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0

, se pide:

a) Calculad la distancia del punto

P

al plano

\pi

. (2 puntos)

b) Calculad el punto

P'

que es simétrico del punto

P

respecto del plano

\pi

. (5 puntos)

c) Calculad la ecuación del plano

\pi'

que pasa por

P'

y es paralelo a

\pi

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

d(P, \pi) = \sqrt{14} \approx 3{,}74

u.

b)

P'(-5, -2, 1)

(la proyección de

P

sobre

\pi

M(-2, 0, 2)

, punto medio de

PP'

).

c)

\pi': 3x + 2y + z + 18 = 0

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se apoya en el vector normal del plano,

\vec n = (3, 2, 1)

a) Fórmula directa de la distancia de un punto a un plano.
b) Se traza la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$ (su director es $\vec n$ ). Donde corta al plano está $M$ , la proyección de $P$ , que es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$ .
c) Un plano paralelo a $\pi$ tiene el mismo normal: solo falta el término independiente, que se fija con $P'$ .

Desarrollo

a) Distancia de $P$ a $\pi$ .

d(P, \pi) = \frac{|3\cdot 1 + 2\cdot 2 + 1\cdot 3 + 4|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14} \approx 3{,}74 \ \text{u}

b) Recta perpendicular a $\pi$ por $P$ . Su director es

\vec n = (3, 2, 1)

r: \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}

Proyección de $P$ sobre $\pi$ . Sustituimos

r

en el plano:

3(1 + 3\lambda) + 2(2 + 2\lambda) + (3 + \lambda) + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; 14 + 14\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1

M = (1 - 3,\ 2 - 2,\ 3 - 1) = (-2,\ 0,\ 2)

Comprobamos que está en

\pi

3(-2) + 0 + 2 + 4 = 0

✓.

Simétrico.

M

es el punto medio de

P

P'

, así que

P' = 2M - P

P' = \big(2(-2) - 1,\ 2\cdot 0 - 2,\ 2\cdot 2 - 3\big) = (-5,\ -2,\ 1)

Comprobación.

d(P', \pi) = \dfrac{|-15 - 4 + 1 + 4|}{\sqrt{14}} = \dfrac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}

, igual que

P

, y al otro lado del plano (el signo de

3x + 2y + z + 4

+14

P

-14

P'

) ✓.

c) Plano paralelo a $\pi$ por $P'$ . Mismo vector normal, así que

\pi': 3x + 2y + z + D = 0

. Imponiendo que pase por

P'(-5, -2, 1)

3(-5) + 2(-2) + 1 + D = 0 \;\Longrightarrow\; -18 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 18

\pi': 3x + 2y + z + 18 = 0

Como era de esperar,

\pi'

está a distancia

\dfrac{|18 - 4|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}

\pi

, en el lado contrario al de

P

Consejo

El simétrico es el apartado que más vale (5 puntos) y el corrector mira el método: recta perpendicular por $P$ , punto de corte con el plano y punto medio. Escribe los tres pasos aunque el cálculo sea corto. Un error típico es tomar el punto de corte $M$ como si fuera el simétrico; el otro, despejar mal en el punto medio. Comprobar que $P'$ está a la misma distancia del plano que $P$ cuesta una línea.