Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Junio

Comunitat Valenciana · 2021 · Junio
Enunciado
Dada la matriz A=(−12m0m021m2+1)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & m \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2 + 1 \end{pmatrix}, se pide:

a) Obtened el rango de la matriz en función del parámetro mm. (4 puntos)

b) Explicad cuándo la matriz AA es invertible. (2 puntos)

c) Resolved la ecuación XA=IXA = I donde II es la matriz identidad en el caso m=1m = 1. (4 puntos)
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Resultado
a) ∣A∣=−m(m+1)2|A| = -m(m+1)^2. Si m≠0m \neq 0 y m≠−1m \neq -1: rg⁡A=3\operatorname{rg} A = 3. Si m=0m = 0 o m=−1m = -1: rg⁡A=2\operatorname{rg} A = 2.

b) AA es invertible si y solo si m≠0m \neq 0 y m≠−1m \neq -1.

c) X=A−1=14(−2310402−51)X = A^{-1} = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El determinante de AA lo resuelve casi todo:
  • Donde ∣A∣≠0|A| \neq 0, el rango es 3; en los valores que lo anulan, el rango es menor y hay que buscar un menor de orden 2 no nulo para ver si es 2.
  • Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante no es cero (rango máximo).
  • En c), XA=IXA = I significa que XX es la inversa de AA: se multiplica por A−1A^{-1} por la derecha y queda X=A−1X = A^{-1}. Se calcula con adjuntos.
La segunda fila tiene dos ceros: conviene desarrollar el determinante por ella.
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Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la segunda fila, donde solo queda el término de a22=ma_{22} = m:∣A∣=m⋅(−1)2+2∣−1m2m2+1∣=m [−(m2+1)−2m]=−m (m2+2m+1)=−m (m+1)2|A| = m\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} -1 & m \\ 2 & m^2+1 \end{vmatrix} = m\,\big[-(m^2+1) - 2m\big] = -m\,(m^2 + 2m + 1) = -m\,(m+1)^2Se anula para m=0m = 0 y para m=−1m = -1.

Caso m≠0m \neq 0 y m≠−1m \neq -1. ∣A∣≠0|A| \neq 0, luego rg⁡A=3\operatorname{rg} A = 3.

Caso m=0m = 0.A=(−120000211),∣−1221∣=−1−4=−5≠0  ⟹  rg⁡A=2A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 4 = -5 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg} A = 2Caso m=−1m = -1.A=(−12−10−10212),∣−120−1∣=1≠0  ⟹  rg⁡A=2A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg} A = 2(Aquí la primera y la tercera columna son iguales, por eso el determinante se anula.)

b) Invertibilidad. AA es invertible si y solo si ∣A∣≠0|A| \neq 0, es decir, cuando su rango es 3:A es invertible  ⟺  m≠0 y m≠−1A \text{ es invertible} \iff m \neq 0 \text{ y } m \neq -1c) Despejamos XX. Para m=1m = 1, ∣A∣=−1⋅22=−4≠0|A| = -1\cdot 2^2 = -4 \neq 0, así que existe A−1A^{-1}. Multiplicando XA=IXA = I por A−1A^{-1} por la derecha:XAA−1=IA−1  ⟹  X=A−1XAA^{-1} = IA^{-1} \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}Matriz y adjuntos. Con m=1m = 1:A=(−121010212)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}A11=∣1012∣=2,A12=−∣0022∣=0,A13=∣0121∣=−2A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2,\quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0,\quad A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2A21=−∣2112∣=−3,A22=∣−1122∣=−4,A23=−∣−1221∣=5A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -3,\quad A_{22} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -4,\quad A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5A31=∣2110∣=−1,A32=−∣−1100∣=0,A33=∣−1201∣=−1A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1,\quad A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0,\quad A_{33} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1Inversa. A−1=1∣A∣ (Adj⁡A)tA^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t:(Adj⁡A)t=(2−3−10−40−25−1)  ⟹  X=A−1=−14(2−3−10−40−25−1)=14(−2310402−51)(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -1 \\ 0 & -4 & 0 \\ -2 & 5 & -1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; X = A^{-1} = -\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -3 & -1 \\ 0 & -4 & 0 \\ -2 & 5 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}Comprobación de la primera fila de XAXA: 14(−2,3,1)\frac{1}{4}(-2, 3, 1) por las columnas de AA da 14(2+0+2, −4+3+1, −2+0+2)=(1,0,0)\frac{1}{4}(2 + 0 + 2,\ -4 + 3 + 1,\ -2 + 0 + 2) = (1, 0, 0) ✓. Las otras dos filas salen (0,1,0)(0, 1, 0) y (0,0,1)(0, 0, 1) del mismo modo.
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Consejo

En una ecuación matricial, el lado por el que multiplicas importa: de XA=IXA = I se despeja X=A−1X = A^{-1} multiplicando por la derecha, y conviene escribirlo, no solo saltar al resultado. Antes de calcular la inversa, comprueba que ∣A∣≠0|A| \neq 0 para ese valor de mm (es lo que justifica que exista). Y no olvides trasponer la matriz de adjuntos: es el error más frecuente; comprobar una fila de XAXA te lo detecta en un minuto.
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